Picard Lindelöf

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02.06.2018, 22:09

Bigt33xy

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Picard Lindelöf

Hat jemand tipps wie bei dieser Aufgabe die ersten Ansätze aussehen sollen ?

03.06.2018, 11:38

Huggy

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RE: Picard Lindelöf
Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+y^2x-y^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G=[-1,1]\times [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Zuerst brauchst du die Lipschitzstetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \in G \end{eqnarray*}$ . Es genügt die lokale Lipschitzstetigkeit. Hier bekommst du aber ohne Mehraufwand die globale, entweder durch eine direkte Abschätzung oder wegen der Beschränkheit von $\begin{eqnarray*} \frac {\partial f(x,y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann garantiert dir der lokale Satz von Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung in einem Intervall, dessen Größe ebenfalls in diesem Satz angegeben ist. Du musst es nur noch ausrechnen.

03.06.2018, 13:28

Bigt33xy

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Was soll ich bei der Lipschitzstetigkeit genau machen Huggy ?
Kannst du mir das genauer erklären ?

03.06.2018, 15:07

Huggy

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Wenn du über die Ableitung gehst, na, dann musst halt die obige Ableitung bilden und zeigen, dass sie in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Oder du wendest direkt die Definition an. Dann musst du zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} |f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leq L |y_2-y_1| \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Dazu erst mal die Differenz auf der linken Seite bilden und deren Betrag dann geeignet abschätzen.

03.06.2018, 15:58

Bigt33xy

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f'(x) = 2x +y^2

Wo setze ich die Ableitung ein ?

03.06.2018, 16:06

Huggy

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Das ist nicht richtig! Es geht um die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , nicht die nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das steht doch ganz klar bei mir oben. Die Ableitung wird auch nirgends eingesetzt. Du musst zeigen, dass sie in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Du weißt doch, was beschränkt heißt?

03.06.2018, 16:18

Bigt33xy

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$\begin{eqnarray*} f'(y) = 2yx -3y^2 \end{eqnarray*}$

Ja in welchem Wertebereich sie beschränkt ist ?

hmm wie sehe ich das genau an der Gleichung? Big Laugh

03.06.2018, 16:29

Huggy

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Das ist jetzt die richtige Ableitung. Sie muss in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beschränkt sein. Ich habe doch oben hingeschrieben, was $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sein soll. Also mal ganz ausführlich: Du musst zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} |2yx-3y^2|\leq M \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in G \end{eqnarray*}$ , d. h. für alle $\begin{eqnarray*} x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} y \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Dazu wendest du auf den Betrag der Ableitung zuerst die Dreiecksungleichung an, dann die Regel für den Betrag von Produkten und dann schätzt du die einzelnen Variablen in den genannten Intervallen ab.

03.06.2018, 17:05

Bigt33xy

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$\begin{eqnarray*} |2yx-3y^2| >=M \end{eqnarray*}$

Das wäre die Dreiecksungleichung hoffentlich ?

Jetzt für x = -1 und y = 1 eingesetzt?

Ergibt :|-2 -3| >=M

5>= M

Das ist es?

03.06.2018, 17:32

Huggy

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Das ist alles grober Unfug, obwohl zum Schluss die richtige Zahl auftaucht. Die Dreiecksungleichung lautet

$\begin{eqnarray*} |a+b|\leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$

Angewandt auf $\begin{eqnarray*} a=2yx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-3y^2 \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} |2yx-3y^2|\leq |2yx|+|-3y^2|=2|y||x|+3|y|^2 \end{eqnarray*}$

Nun gilt in dem betrachteten Gebiet $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |y|\leq 1 \end{eqnarray*}$ Das führt zu

$\begin{eqnarray*} 2|y||x|+3|y|^2 \leq 2\cdot 1 \cdot 1+3 \cdot 1^2=5 \end{eqnarray*}$

Damit hat man

$\begin{eqnarray*} |2yx-3y^2| \leq 5 \end{eqnarray*}$

M=5 ist also eine geeignete Schranke.

Deine Unkenntnis über so triviale Abschätzungen ist mehr als erschreckend.

03.06.2018, 17:55

Bigt33xy

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Wie ist die weitere Vorgehensweise ?

03.06.2018, 18:53

Huggy

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Jetzt hast du gezeigt, dass die Voraussetzung des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt ist. Es gibt daher in einer Umgebung der Anfangsposition $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung der DGL. Bleibt noch die Größe dieser Umgebung zu bestimmen. Es ist dies nach dem Satz das Intervall

$\begin{eqnarray*} x \in [x_0-\frac R M, x_0 + \frac R M] \end{eqnarray*}$

Ihr mögt in der Vorlesung andere Bezeichnungen benutzt haben. Jedenfalls Achtung: Dieses $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hat nichts mit dem obigen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu tun. $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist der Radius der Kugel, in der man $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ betrachtet. Da hier $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , entartet die Kugel zu einem Intervall und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist die halbe Intervalllänge. Es ist also hier $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ . Das jetzt betrachtete $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} M=Max |f(x,y)| \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (x,y) \in G \end{eqnarray*}$ . Das musst du jetzt bestimmen.

03.06.2018, 20:03

Bigsx33:;

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Das Max ist ja 1 oder nicht ?

03.06.2018, 20:47

Huggy

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Das Maximum ist nicht 1! unglücklich

Mach dir mal echte Gedanken, nicht einfach etwas hinschreiben.

Ich bin erst morgen wieder im Board.

04.06.2018, 09:56

Bigt33xy

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Auch nach einem Tag habe ich noch keine Idee verwirrt

WIe soll ich sonst auf Mmax kommen ?

04.06.2018, 10:40

Huggy

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Das ist natürlich echt traurig. unglücklich

Zum einen gibt es ja den systematischen Weg zur Bestimmung lokaler und globaler Extrema von Funktionen mit mehreren Variablen:

- Kandidatenpunkte für lokale Extrema über die partiellen Ableitungen suchen
- Prüfen, ob es Kandidatenpunkte im Inneren von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gibt
- Mit der Hessematrix prüfen, ob darunter lokale Maxima sind
- Kräftig fluchen, wenn die Hessematrix keine Auskunft gibt
- Die Prozedur für den Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wiederholen
- Die Werte von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ in den 4 Ecken von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bestimmen
- Aus den bisherigen Ergebnissen das globale Maximum in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ heraussuchen.

Bei deiner Aufgabe geht es auch einfacher. Da man nachweisen soll, dass es im InterVall $\begin{eqnarray*} [-1/3,1/3] \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung gibt, sollte $\begin{eqnarray*} M=3 \end{eqnarray*}$ sein. Nun ist

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|=|x^2+y^2x-y^3|\leq |x|^2+|y|^2|x|+|y|^3\leq 3 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} M \leq 3 \end{eqnarray*}$

Weiter ist

$\begin{eqnarray*} (f1, -1)=3 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} M\geq 3 \end{eqnarray*}$

Zusammen ergibt das $\begin{eqnarray*} M=3 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2018, 11:03

Bigx33y

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Warum ist M=3 ?

Bitte um Erklärung

04.06.2018, 11:15

HAL 9000

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Hat Huggy doch gerade eben getan!

Wenn man einerseits abschätzt $\begin{eqnarray*} M\leq 3 \end{eqnarray*}$ und andererseits aber auch Argumente $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ findet mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=3 \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich das Maximum $\begin{eqnarray*} M=3 \end{eqnarray*}$ .

Statt "Bitte um Erklärung" ist daher angemessener die Aufforderung an dich "Bitte gründlich durchlesen und wirklich mal darüber nachdenken".

04.06.2018, 11:21

Bigx33y

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Hätte man auch eine andere Zahl als 3 nehmen können ?

04.06.2018, 11:33

Huggy

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Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, was ich da antworten soll. unglücklich

Man nimmt keine Zahl. Es kommt eine Zahl heraus, eben das Maximum. Das ist bei dieser Funktion und dem zu betrachtenden Gebiet ein wohldefinierter Wert.

04.06.2018, 12:32

Bigt33xy

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$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|=|x^2+y^2x-y^3|\leq |x|^2+|y|^2|x|+|y|^3\leq 3 \end{eqnarray*}$

Hast du in dem rechten Term einfach für x=1 und y = -1 eingesetzt ?

Dann kommt 3 raus Big Laugh

M<= 3

ABer warum dann plötzlich

m>= 3 ? verwirrt

Ich muss es ja verstehen sonst macht es ja kein SInn.

Die AUfgabe ist ja zum üben da.

Daher frage ich nochmal nach

04.06.2018, 12:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bigt33xy
$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|=|x^2+y^2x-y^3|\leq |x|^2+|y|^2|x|+|y|^3\leq 3 \end{eqnarray*}$

Hast du in dem rechten Term einfach für x=1 und y = -1 eingesetzt ?

Nein, an der Stelle wurde nicht einfach "eingesetzt", sondern die sich aus dem Gebiet ergebenden Abschätzungen $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |y|\leq 1 \end{eqnarray*}$ angewandt, aus denen ergeben sich nämlich auch jeweils $\begin{eqnarray*} |x|^k|y|^m\leq 1 \end{eqnarray*}$ für beliebige positive Exponenten $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ . (*)

Zitat:

Original von Bigt33xy
ABer warum dann plötzlich

m>= 3 ?

Nicht "plötzlich": Wenn man eine Stelle findet mit Funktionswert 3 (wie hier geschehen, hier stimmt das mit dem Einsetzen x=1 und y = -1), dann ist das Maximum aller Funktionswerte eben mindestens so groß wie dieser eine ja eben wirklich auftretende Wert, aber womöglich noch größer (ggfs. gibt es ja auch noch Stellen mit noch größeren Funktionswerten) - diese Aussage wird sozusagen unabhängig getroffen von der anderen Abschätzung (*) oben.

Zum Schluss wird genutzt, dass beide Aussagen $\begin{eqnarray*} M\leq 3 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} M\geq 3 \end{eqnarray*}$ gelten, und das kann nur $\begin{eqnarray*} M=3 \end{eqnarray*}$ bedeuten.

04.06.2018, 13:09

Bigt33xy

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Gut jetzt ist es mir endlich klar geworden .
Fühle mich aber jetzt besser Big Laugh

Wie ist die weitere Vorgehensweise ?
Alleine schaffe ich diese Aufgabe nicht

04.06.2018, 13:17

Huggy

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Kram die Formel für die Picard-Iteration heraus und führe sie zweimal aus. Das sind zwei einfache Integrationen.

04.06.2018, 16:51

Bigt33xy

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In meiner Musterlösung haben die es so gemacht ?

Aber ich verstehe nicht warum die plötzlich t^2 integrieren?

Bitte um Hilfe

04.06.2018, 17:00

HAL 9000

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Wieso denn schon wieder "plötzlich" ? Stell doch mal bitte die inflationäre und durch nichts gerechtfertigte Verwendung dieses Wortes ein, hier geht es schlicht und einfach um banales Einsetzen:

Die Argumente $\begin{eqnarray*} x=t \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=u_k(t) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2+y^2x-y^3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} f(t,u_k(t)) = t^2 + (u_k(t))^2t-(u_k(t))^3 \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} u_0(t)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} f(t,u_0(t)) = f(t,0) = t^2 \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} u_1(t)=\frac{t^3}{3} \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} f(t,u_1(t)) = f\left(t,\frac{t^3}{3}\right) = t^2 + \left(\frac{t^3}{3}\right)^2t-\left(\frac{t^3}{3}\right)^3 = t^2 + \frac{t^7}{9} - \frac{t^9}{27} \end{eqnarray*}$ .

04.06.2018, 21:50

Bigt33xy

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$\begin{eqnarray*} f(t,u_k(t)) = t^2 + (u_k(t))^2t-(u_k(t))^3 \end{eqnarray*}$ .

Woher kommt dieser obere Term ?
Oh man ich peile das nicht .
Ich verstehe immer noch nicht wie man auf t^2 kommt geschockt

04.06.2018, 22:37

HAL 9000

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HALLO? JEMAND ZUHAUSE?

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Argumente $\begin{eqnarray*} x=t \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=u_k(t) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2+y^2x-y^3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt...

Was bitte daran ist nicht zu kapieren für jemand, der ja anscheinend doch irgendwann mal das Abitur geschafft hat?

Vielleicht überfordert es dich, beide zugleich einzusetzen, machen wir es mal in zwei Schritten:

1) Zunächst nur $\begin{eqnarray*} x=t \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} f(t,y) = t^2+y^2t-y^3 \end{eqnarray*}$ .

2) Und nun auch noch $\begin{eqnarray*} y=u_k(t) \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} f(t,u_k(t)) = t^2+(u_k(t))^2t-(u_k(t))^3 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2018, 23:11

Bigt33xy

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Ah jetzt verstehe ich es endlich Big Laugh

Danke

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