Differenzierbar n-1 mal

02.06.2018, 23:43

jaaaa

Differenzierbar n-1 mal

Meine Frage:
Hallo,

Könnte mir jemand helfen?

Ich soll $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ eine funktion $\begin{eqnarray*} f_{n}:R\Rightarrow R \end{eqnarray*}$ angeben, die (n-1) mal differenzierbar ist, aber nicht n-mal.

Meine Ideen:
Mir kommt irgendwie nix vor.

Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe

03.06.2018, 10:16

10001000Nick1

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Oft hilft es, sich zuerst für kleine Werte von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein Beispiel zu überlegen, um eine Idee zu kriegen, wie so eine Funktion allgemein aussehen könnte.

Fangen wir mal mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ an. Kennst du eine Funktion, die differenzierbar ist, aber nicht zweimal diferenzierbar?

03.06.2018, 14:40

jaaaa

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mmm, z.B f(x)= x^2+2? da ich nur einmal ableiten kann. Ist das falsch? Hammer

03.06.2018, 15:08

HAL 9000

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Polynomfunktionen sind unendlich oft differenzierbar, insofern ist dein Beispiel natürlich nicht passend.

Richtig ist aber, dass man aus Polynomfunktion und Betragsfunktion (im Nullpunkt nicht differenzierbar) was passendes basteln kann.

03.06.2018, 16:05

Leopold

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Integralfunktionen stetiger Funktionen sind bekanntlich differenzierbar. Du gehst daher von der Betragsfunktion aus und integrierst fortwährend. Du wirst dann bis auf konstante Faktoren auf die Funktionen geführt, an die HAL vermutlich gedacht hat.

03.06.2018, 18:25

jaaaa

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Wenn ich richtig verstehe,wäre so?
f(x) = x wenn x > 0 und 0, wenn x=< 0

Danke!

03.06.2018, 18:32

HAL 9000

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Es genügt nicht eine Funktion anzugeben, sondern du musst für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine angeben (und auch richtig zuordnen), die dies

Zitat:

Original von jaaaa
(n-1) mal differenzierbar ist, aber nicht n-mal.

erfüllt. Für welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll die hier

Zitat:

Original von jaaaa
f(x) = x wenn x > 0 und 0, wenn x=< 0

passen? Bisschen mehr erläutern, statt nur eine Funktion einfach hinwerfen.

03.06.2018, 18:37

jaaaa

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f(x) = {0, x=<0
x^n, x>0, heißt das, dass n-1 mal differenzierbar ist? Da das im Punkt 0 nicht differenzierbar ist.

04.06.2018, 09:38

HAL 9000

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Ordentlich formuliert würde man deine Idee so aufziehen: Man definiert für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\;x\leq 0\\ x^n &\;\mbox{für}\;x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht deren Ableitung aus? Na 0 für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , und was ist mit Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Dort haben wir im Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ keine Differenzierbarkeit, und im Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ den Ableitungswert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ gilt demnach

$\begin{eqnarray*} f_n'(x) = n\cdot f_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ für alle (!) reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Basierend auf dieser Rekursionsgleichung erkennt man somit, dass $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ die gewünschte Eigenschaft aufweist (falls gewünscht, kann man dies seriöserweise auch noch in einen Beweis per Vollständiger Induktion verpacken). Freude

P.S.: Meine ursprüngliche Idee war (wie von Leopold richtig erahnt) ein wenig anders, nämlich $\begin{eqnarray*} g_n(x) = |x|\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Aber das ist rum wie num, es gibt hier viele Möglichkeiten einer passenden Konstruktion.

05.06.2018, 22:45

jaaaa

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danke sehr,mmm aber wie könnte man das mit vollständiger Induktion beweisen?

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