Ungleichungen und Integrale

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Principessa2.0 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen und Integrale
Meine Frage:
Ich habe eine Ungleichung mit zwei Beträgen gegeben. Darf ich auch beiden Seiten der Ungleichung integrieren (bzw. Differenzieren) ohne, dass sich die Lösung der Ungleichung ändert?

Meine Ideen:
Ich schätze schon, wenn beide Funktionen stetig sind.
Principessa2.0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und Integrale
Ich habe die Frage etwas ungut formuliert.
Wenn ich weiß: |sin(x)-x)| , kann ich dann davon ausgehen, dass die Ungleichung ebenfalls gilt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und Integrale
Zitat:
Original von Principessa2.0
Darf ich auch beiden Seiten der Ungleichung integrieren (bzw. Differenzieren) ohne, dass sich die Lösung der Ungleichung ändert?

Beim Differenzieren funktioniert das nicht. Wenn z.B. ist, dann ist die Ableitung von zwar viel größer als die Ableitung von ; für die Funktionswerte gilt aber die umgekehrte Ungleichung. Das liegt daran, dass man zu einer Funktion eine beliebig große Konstante addieren oder subtrahieren kann (hier ), ohne dass sich die Ableitung ändert.

Integrieren im Sinne von "Stammfunktion bestimmen" funktioniert ebenfalls nicht, aus demselben Grund wie beim Differenzieren: Du kannst zu einer Stammfunktion eine beliebige Konstante addieren und erhältst wieder eine Stammfunktion.

Wenn du Integrieren im Sinne von "bestimmt integrieren" meinst, dann funktioniert das: Aus für alle folgt . (Beide Integrale müssen natürlich existieren.)
In der Integralungleichung hast du aber gar kein mehr als freie Variable; das hat also nicht wirklich was damit zu tun, dass sich Lösungen von Ungleichungen (nicht) ändern.
Vielmehr ist das einfach die Monotonieeigenschaft des Integrals.


Zu deiner Abschätzung mit der Sinusfunktion:
Am Ende hängt die rechte Seite noch von ab, die linke aber nicht mehr. Das kann also nicht stimmen.
Vielleicht meinst du folgendes:
Für alle (oder sogar für alle ) gilt , also
.
Principessa2.0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und Integrale
Woooow, vielen Dank!! das hilft mir sehr weiter smile Gilt dann auch die Ungleichung:
oder? smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja . Deine letzte Ungleichung ist also auch richtig. Augenzwinkern

Ich verschiebe das mal in die Analysis.
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