Kettenregel

03.06.2018, 10:48	MatheStudent500	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel Hallo, wenn ich ein homogenes Polynom vom Grad 2 in 2 Variablen habe: Es gilt dann: $\begin{eqnarray} f( tx)= t^2 f(x) \forall t \in \mathbb R, x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Wie sehe ich, dass die Ableitung nach t der linken Seite nach der Kettenregel funktioniert? Es muss gelten $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} f( tx) = x_1 + \frac{\partial}{\partial x_1} f( tx) + x_1 + x_2 \frac{\partial}{\partial x_2} f( tx) \end{eqnarray}$ Also warum leite ich f erst nach x_i ab und dann das Argument nach t?
03.06.2018, 10:51	MatheStudent500	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel Ich habe mich bei der Ableitung verschrieben: Es muss gelten $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} f( tx) = x_1 \frac{\partial}{\partial x_1} f( tx) + x_2 \frac{\partial}{\partial x_2} f( tx) \end{eqnarray}$
03.06.2018, 17:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} g \end{align}$ mit $\begin{align} g(t) = f(tx) \end{align}$ ist eine Funktion $\begin{align} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align}$ . Man kann sie als Verkettung $\begin{align} f \circ \varphi \end{align}$ mit $\begin{align} y = \varphi(t) = tx = \begin{pmatrix} tx_1 \\ tx_2 \end{pmatrix} \end{align}$ auffassen. Nach der mehrdimensionalen Kettenregel gilt $\begin{align} g'(t) = f' \left( \varphi(t) \right) \cdot \varphi'(t) \end{align}$ $\begin{align} f' = \left( \frac{\partial f}{\partial y_1} , \frac{\partial f}{\partial y_2} \right) \end{align}$ ist der Gradient von $\begin{align} f \end{align}$ und $\begin{align} \varphi'(t) \end{align}$ ist der Spaltenvektor aus den Ableitungen der Komponentenfunktionen. Das Malzeichen ist das Matrizenprodukt. Das entspricht hier in der Form "Zeile mal Spalte" dem Standardskalarprodukt zweier Vektoren, also $\begin{align} g'(t) = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial y_1} , \frac{\partial f}{\partial y_2} \right) \right\|_{\, y=tx} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = x_1 \cdot \frac{\partial f}{\partial y_1}(tx) + x_2 \cdot \frac{\partial f}{\partial y_2} (tx) \end{align}$ Für die unabhängige Variable der Funktion $\begin{align} f \end{align}$ habe ich lieber $\begin{align} y \end{align}$ geschrieben, denn $\begin{align} x \end{align}$ ist ja bereits für anderes vergeben.
03.06.2018, 21:07	MatheStudent500	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold. Es ist alles klar geworden

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »