Zirkulation, Ausfluss Kurvenintegral

03.06.2018, 19:05	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Zirkulation, Ausfluss Kurvenintegral Gegeben sei die Kurve $\begin{eqnarray} K \subset \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ mit der regulären Parametrisierung $\begin{eqnarray} C:[0,1] \rightarrow \mathbb R^2, C(t) = (t-t^2, sin(2 \pi t)) \end{eqnarray}$ und das Geschwindigkeitsfeld $\begin{eqnarray} g : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 , g(x,y) := (xy,0). \end{eqnarray}$ a.) Geben Sie die orienterten Längen $\begin{eqnarray} T(C(t)) \end{eqnarray}$ (die skalare Tangentialkomponente) und $\begin{eqnarray} N(C(t)) \end{eqnarray}$ (die skalare Normalkomponente) an. b.) Berechnen Sie die Zirkulation $\begin{eqnarray} Z(g,K) \end{eqnarray}$ und den Ausfluss $\begin{eqnarray} A(g,K) \end{eqnarray}$ , und schätzen Sie die mittlere Zirkulation $\begin{eqnarray} T(\zeta_T) \end{eqnarray}$ und den mittleren Ausfluss $\begin{eqnarray} N(\zeta _N) \end{eqnarray}$ ab (diese folgen aus dem Mittelwertsatz für $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ), gegeben $\begin{eqnarray} L(K)=4.06 \end{eqnarray}$ (müssen Sie nicht berechnen). Meine Idee: Irgendwie lässt sich hier nichts vereinfachen, oder ich überseh was, so kann ich aber nich weiter rechnen. a.) $\begin{eqnarray} T(C(t)) = g(C(t)) \cdot \frac{C'(t)}{\|C'(t)\|} = \begin{pmatrix} (t-t^2) \cdot sin(2 \pi t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{\begin{pmatrix} 1-2t \\ 2 \pi cos(2 \pi t) \end{pmatrix} }{\sqrt{(1-2t)^2+4\pi^2\cdot cos^2(2\pi t)} } = \frac{(t-t^2) \cdot sin(2 \pi t) \cdot (1-2t) }{\sqrt{(1-2t)^2+4\pi^2\cdot cos^2(2\pi t)} } \end{eqnarray}$ Normalvektor: $\begin{eqnarray} n(t) = \frac{1}{\|C'(t)\| } \cdot \begin{pmatrix} C_2'(t) \\ C_1'(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ skalare Normalkomponente: $\begin{eqnarray} N(C(t)) = g(C(t)) \cdot n(t) = \begin{pmatrix} (t-t^2) \cdot sin(2 \pi t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{\begin{pmatrix} 2 \pi cos(2 \pi t)\\ 1-2t \end{pmatrix} }{\sqrt{(1-2t)^2+4\pi^2\cdot cos^2(2\pi t)}} = \frac{(t-t^2) \cdot sin(2 \pi t) \cdot 2 \pi cos(2 \pi t)}{\sqrt{(1-2t)^2+4\pi^2\cdot cos^2(2\pi t)}} \end{eqnarray}$

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