Extremwertaufgabe mit Ungleichungsnebenbedingung

04.06.2018, 12:44

nicc

Extremwertaufgabe mit Ungleichungsnebenbedingung

Meine Frage:
Hallo,

für die Funtion $\begin{eqnarray*} W(x,t) = x^2*(a-x)*t^2*e^{-t} \end{eqnarray*}$ soll x und t gefunden werden, sodass W maximal wird.
Die Nebenbedingung ist angegeben mit $\begin{eqnarray*} (0<=x<=a,t>=0) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie ich die Haupt- und Nebenbedingung vereinigen kann.
Lagrange haben wir in der Vorlesung nicht behandelt. Es wurde immer der Gradient null gesetzt und dann die Hessesche Matrix zur Bestimmung um welches Extremum es sich handelt genutzt.

Meine Ideen:

Oder mach ich das genau so und schaue dann nur welche Punkte innerhalb meiner Nebenbedingung liegen?

Danke für die Hilfe!

04.06.2018, 13:04

HAL 9000

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Technisch gesehen handelt es sich um eine Maximierungaufgabe mit zwei Variablen ohne Nebenbedingungen, dafür aber auf einem eingeschränkten Gebiet. Was nichts anderes heißt, als dass du neben der Suche nach lokalen Extremwerten via Bedingung "Gradient=0" zusätzlich auch noch den Rand deines Gebietes abgrasen solltest.

Und wenn du noch genauer hinschaust erkennst du die Struktur $\begin{eqnarray*} W(x,t) = W_1(x)\cdot W_2(t) \end{eqnarray*}$ mit (zumindest auf dem genannten Gebiet) nichtnegativen Funktionswerten $\begin{eqnarray*} W_1(x) \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} W_2(t) \end{eqnarray*}$ . Was nichts anderes bedeutet, als dass man hier die Maximumsuche getrennt für $\begin{eqnarray*} W_1(x) \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} W_2(t) \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durchführen kann, beides also nur eindimensionale Probleme. So komfortabel hat man es natürlich selten. Augenzwinkern

04.06.2018, 14:15

nicc

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Wie genau grase ich denn den Rand des Gebietes ab?

Ich habe jetzt als Lösung W(x,t) wird für x=2/3a und für t=2 maximal.

04.06.2018, 14:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von nicc
Wie genau grase ich denn den Rand des Gebietes ab?

Ist das die erste Extremwertuntersuchung, die du machst? Der Rand hier besteht aus den drei Teilen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ . Damit sind auch noch die entsprechenden Randwertfunktionen $\begin{eqnarray*} t\mapsto W(0,t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\mapsto W(a,t) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x\mapsto W(x,0) \end{eqnarray*}$ dahingehend anzuschauen, ob sich evtl. noch dort ein Maximum versteckt. Das mag hier relativ schnell erledigt sein, ist aber dennoch zu tun!

Zitat:

Original von nicc
Ich habe jetzt als Lösung W(x,t) wird für x=2/3a und für t=2 maximal.

Sieht gut aus. Freude

04.06.2018, 14:55

nicc

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[quote]Original von HAL 9000
Damit sind auch noch die entsprechenden Randwertfunktionen $\begin{eqnarray*} t\mapsto W(0,t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\mapsto W(a,t) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x\mapsto W(x,0) \end{eqnarray*}$ dahingehend anzuschauen, ob sich evtl. noch dort ein Maximum versteckt. Das mag hier relativ schnell erledigt sein, ist aber dennoch zu tun!

achso, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe sind an den rändern aber keine extremwerte zu finden oder?

04.06.2018, 14:59

HAL 9000

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Warum nur immer und immer wieder diese Gegenfragen bei den simpelsten Dingen? Ist das eine Strategie, die Helfer zu zermürben? Einsetzen, da einheitlich $\begin{eqnarray*} W(0,t)=W(a,t)=W(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ feststellen, aus die Maus.

04.06.2018, 15:25

nicc

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Nein, das war nicht meine Absicht.
Genau das hab ich auch raus. Ist meine erste Aufgabe mit Randbetrachtung.. sorry

danke für die Hilfe

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