Zyklische C[x]-Moduln über K^n & Jordanbasis

04.06.2018, 16:57	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische C[x]-Moduln über K^n & Jordanbasis Hallo, Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit $\begin{eqnarray} dim(V)=n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus. Durch $\begin{eqnarray} p.v:=p(f)(v) \end{eqnarray}$ besitzt $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Strucktur eines $\begin{eqnarray} \mathbb C [x] \end{eqnarray}$ -Moduls, der mit $\begin{eqnarray} V_{f} \end{eqnarray}$ bezeichnet werden soll. Es ist einfach zu beweisen, dass gilt $\begin{eqnarray} p_{f}=m_{f}=(x-\lambda)^n ; \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} V_{f} \end{eqnarray}$ ist zyklischer $\begin{eqnarray} \mathbb C [x] \end{eqnarray}$ -Modul. Wie kann ich zeigen, dass dies auch gilt, falls eine Abbildung mehrere Eigenwerte besitzt, die JNF der Matrix zur Abbildung aber aus jeweils nur einem Jordan-Block zu einem Eigenwert besteht? Jeder Eigenraum ist also Eindimensional und pro Hauptraum steigt die Dimension auch nur um 1 an. Ich weiß, dass für alle Vektoren der Jordan-Basis gilt: $\begin{eqnarray} f(v_{i,j})= \lambda_{i} v_{i,j}+ v_{i,j-1} \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} v_{i,1} \end{eqnarray}$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ sein soll und $\begin{eqnarray} v_{i,j} \end{eqnarray}$ der Vektor, der $\begin{eqnarray} H_{i,j-1}\setminus H_{i,j} \end{eqnarray}$ aufspannt (zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ ). Also einfach der Vektor, der zum Hauptraum j dazukommt (die j werden größer zu größeren Haupträumen). Ich hatte bereits die Idee, dass der Vektor $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , aus dem alle Elemente von V entstehen können, die Summe der Vektoren über alle Eigenwerte ist, die jeweils im letzen Hauptraum dazu kommen. Als $\begin{eqnarray} p(f) \end{eqnarray}$ benutze ich dann einfach die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} f^k \end{eqnarray}$ . Das gibt sollte mir genug Koeffizienten geben, sodass ich ein EZS bekomme. Jedoch scheint mir das nicht gerade eine elegante Methode zu sein und ich bin mir auch nicht sicher, ob das richtig ist. Ich vermute, dass Cayley-Hamilton mir vielleicht weiter hilft. Aber ich weiß nicht so recht, wie ich diesen Satz anwenden soll. Ich finde dieses Problem sehr interessant und freue mich über jeden Beitag. Danke.

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