Die Minimumsfunktion, Äquivalenz verschiedener Klammerungen

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05.06.2018, 10:36	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Minimumsfunktion, Äquivalenz verschiedener Klammerungen Meine Frage: Also ich stehe eigentlich vor einem Problem, dass ich die Lösung trivial finde und nicht weiß, wie ich es aufschreiben soll. Es gilt zu zeigen für $\begin{eqnarray} f: A \times B \mapsto \left\{ 0,1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} min(min(f(a,b): b \in B): a \in A) = min(f(a,b): a \in A, b \in B) = min(min(f(a,b): a \in A): b \in B) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also ich stelle mir das ganze wie eine For-Schleife vor. Der erste Term sagt aus ich habe eine verschachtelte Schleife, ich probiere für jedes a alle b's der Reihe nach aus und merke mir das Minimum. Der mittlere Term ist keine wirkliche Schleife, sondern ist allgemein repräsentativ für alle Tupel (a,b) Der letzte Term ist wie der erste Term nur das man für jedes b eben alle a's abgleicht. Nur wie beweise ich die offensichtliche Gleichheit? Mein Ansatz wäre es das ganze mit Quantoren zu lösen. Sei $\begin{eqnarray} min(f(a,b): a \in A, b \in B) = x \end{eqnarray}$ dann ist das Äquivalent zu $\begin{eqnarray} \forall a \in A, b\in B : f(a,b) \geq x \end{eqnarray}$ Dann wollte ich die anderen Aussagen auch auf das zurück führen, aber ich weiß nicht wo der Unterschied in der Formulierung liegen müsste. Also ich kann ja nicht einfach 3 mal das Selbe schreiben
05.06.2018, 10:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage: Es wird nichts über $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ gesagt - sind die endlich? Falls nicht, dann muss auch noch die Existenz der diversen dort auftauchenden Minima diskutiert werden - ohne die ist die Gleichung nämlich sinnlos. Aber man könnte zumindest nachweisen, dass die Nichtexistenz eines der drei Minima die der anderen beiden nach sich zieht (EDIT: Kann man auch nicht - siehe unten.).
05.06.2018, 11:10	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll für jede solche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gelten. Die Aufgabe kommt aus einer Logikvorlesung, es wird also über Aussagenlogische Formeln gesprochen. Ich habe jetzt noch einen anderen Ansatz gefunden, man bezeichnet die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als Interpretation $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} \phi ^I = I(\phi) \end{eqnarray}$ Jetzt ist im Skript formuliert $\begin{eqnarray} (\phi \land \psi)^I = min(\phi^I, \psi^I) \end{eqnarray}$ Wenn ich das richtig verstehe, sollte das von Nutzten zur Lösung der Aufgabe dienen. Aber wie kommt die Klammerung dann ins Spiel? Also vorstellen kann ich mir durch die Kommutativität von $\begin{eqnarray} \land \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} min(a^I, b^I) = (a \land b)^I = (b \land a)^I = min(b^I, a^I) \end{eqnarray}$
05.06.2018, 11:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, keine Einschränkungen. In dem Fall geben wir doch gleich mal ein Gegenbeispiel an: $\begin{eqnarray} A = \{1,2\}, B=\mathbb{N} \end{eqnarray}$ (ohne Null gemeint) sowie $\begin{eqnarray} f(a,b) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; a=1\\ \frac{1}{b} &\;\mbox{für}\; a=2\end{cases} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \min\left\{ f(a,b):\; a\in A,b\in B\right\} = 0 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \min\left\{ \min\left\{ f(a,b):\; b\in B\right\}:\; a\in A \right\} = \min\left\{ \min\left\{ f(1,b):\; b\in B\right\}, \min\left\{ f(2,b):\; b\in B\right\} \right\} = \min\left\{ 0, \min\left\{ \frac{1}{b}:\; b\in \mathbb{N}\right\} \right\} \end{eqnarray}$ , Tja und an der Stelle Stop: $\begin{eqnarray} \min\left\{ \frac{1}{b}:\; b\in \mathbb{N}\right\} \end{eqnarray}$ existiert nicht - wie soll man von 0 und etwas, was nicht existiert, ein Minimum bilden?
05.06.2018, 11:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL Beachte, dass die Zielmenge nur $\begin{eqnarray} \{ 0, 1 \} \end{eqnarray}$ ist
05.06.2018, 11:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe heute tatsächlich die falsche Brille auf und [0,1] gelesen.
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05.06.2018, 11:28	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt natürlich, ich denke wir müssen wohl davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sich nur auf Funktionen der Logik bezieht. Hier wäre eine Division nicht erlaubt. Ich würde denen ja gerne sagen sie sollen das genauer Aufschreiben, und die Aufgabe ist so nicht erfüllbar aber gibt noch eine b und eine c die auf dieser Aufgabe aufbauen und ich brauche die Bewertung Muss wohl dann mit dieser Interpretationsgeschichte funktionieren.
05.06.2018, 11:30	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenns jetzt nicht zur Sache trägt, aber könnte man nicht trotzdem den Fall von HAL kreieren wenn man f noch so definiert, dass das Ergebnis auf 0 oder 1 gerundet wird? Dennoch wird es wohl der Fall sein das wir gar nicht dividieren dürften.
05.06.2018, 11:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um $\begin{eqnarray} \{0,1\} \end{eqnarray}$ geht, dann ist das ganze ja extrem trivial: Man rechnet die drei Terme für die beiden nur in Frage kommenden Fälle 1.Fall: Es existieren $\begin{eqnarray} a^\in A,b^\in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a^,b^)=0 \end{eqnarray}$ . 2.Fall: Es existieren keine $\begin{eqnarray} a^\in A,b^\in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a^,b^)=0 \end{eqnarray}$ . aus, fertig.
05.06.2018, 13:49	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, aber wie rechne ich das für die drei Terme, also wo ist der Unterschied. Ich kann ja nicht schreiben 1. Fall ... $\begin{eqnarray} <br /> min(min(f(a,b): b \in B): a \in A) = min(f(a,b): a \in A, b \in B) = min(min(f(a,b): a \in A): b \in B) = 0<br /> \end{eqnarray}$ 2. Fall ... $\begin{eqnarray} <br /> min(min(f(a,b): b \in B): a \in A) = min(f(a,b): a \in A, b \in B) = min(min(f(a,b): a \in A): b \in B) = 1<br /> \end{eqnarray}$ Ich denke ich sollte das schon irgendwie formulieren oder? Sonst setzte ich da ja die Gleichheit vorraus anstatt sie zu zeigen. Sorry aber es ist echt schwer grad für mich weil mein Kopf als sagt, aja das ist doch genau das selbe
05.06.2018, 14:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine es so, dass du die Werte wirklich konkret ausrechnest! Im 1.Fall muss am Ende 0=0=0 stehen, im 2.Fall 1=1=1, zumindest wenn du es richtig durchziehst. Und ein bisschen besser kann man das schon erläutern, als du es gerade getan hast, etwa im 1.Fall basierend auf eben jenen $\begin{eqnarray} a^,b^* \end{eqnarray}$ , und im zweiten Fall sollte man erwähnen, dass da die konstante* Funkton $\begin{eqnarray} f(a,b)=1 \end{eqnarray}$ vorliegt.
05.06.2018, 14:43	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich probiers mal Ich fange mal mit dem 2ten Fall an. Es sei der 2te Fall Es existieren keine $\begin{eqnarray} a' \in A, b' \in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a',b') = 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \forall a' \in A, b' \in B : f(a',b') = 1 \end{eqnarray}$ In diesem Fall ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant mit dem Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in diesem Fall konstant ist, ist das Minimum konstant und es gilt $\begin{eqnarray} \forall a' \in A, b' \in B : f(a',b') = 1 \Leftrightarrow \forall a' \in A, b' \in B : min(f(a',b')) = 1 \end{eqnarray}$ hierraus folgt direkt die Erfüllung der Gleichung da $\begin{eqnarray} min(min(f(a,b): b \in B): a \in A) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} min(f(a,b): a \in A, b \in B) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} min(min(f(a,b): a \in A): b \in B) = 1 \end{eqnarray}$ Im ersten Fall hieß es Es existieren $\begin{eqnarray} a' \in A, b' \in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a',b') = 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \exists a' \in A, b' \in B : f(a',b') = 0 \end{eqnarray}$ Ist das so machbar? Also sozusagen immer mit der Aussage über den mittleren Term zu arbeiten? Aus dieser Definition folgt direkt $\begin{eqnarray} min(f(a,b): a \in A, b \in B) = 0 \end{eqnarray}$ Es bleibt die Gleicheit der anderen Terme zu zeigen. $\begin{eqnarray} min(min(f(a,b): b \in B): a \in A) = 0 \Leftrightarrow \exists a' \in A : min(f(a',b) : b \in B) = 0 \end{eqnarray}$ da nach Definition des Falls ein eben solches $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ existiert, gilt auch hier die Gleichheit. $\begin{eqnarray} min(min(f(a,b): a \in A): b \in B) = 0 \Leftrightarrow \exists b' \in B : min(f(a,b') : a \in A) = 0 \end{eqnarray}$ da nach Definition des Falls ein eben solches $\begin{eqnarray} b' \end{eqnarray}$ existiert, gilt auch hier die Gleichheit.
05.06.2018, 14:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte es so gemacht: Basierend auf "Minimum < jedes Element der Menge" kann man im 1.Fall schlicht abschätzen $\begin{eqnarray} \min\left\{ \min\left\{ f(a,b):\; b\in B\right\}:\; a\in A \right\} \leq \min\left\{ f(a',b):\; b\in B\right\} \leq f(a',b') = 0 \end{eqnarray}$ , andererseits ist es natürlich auch >0 des Wertebereichs der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ wegen, insgesamt also =0. Analog dann beim rechten Term.
05.06.2018, 16:32	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann vielen Dank dir, dann hab ich das soweit beisammen!!

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