Substitution --> DGL

05.06.2018, 13:16	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution --> DGL Hallo, in der Vorlesung wurde die DGL $\begin{eqnarray} \dot{x}=m+n\sin x+k\cos x \quad (1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m,n,k \end{eqnarray}$ sind konstanten, mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} y=\tan \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ in die einfacherer Darstellung $\begin{eqnarray} \dot{y}=M+Ny+Ky^2 \qquad M,N,K \text{const} \end{eqnarray}$ überführt. Hat jemand eine Idee wie man verfahren muss, auf die neue Darstellung zu kommen. Mit meinen Versuchen komme ich nicht weit... Grüsse
05.06.2018, 13:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die Weierstraß-Subsitution (gelegentlich auch "Generalsubstitution" genannt), die muss man nur konsequent durchziehen: Umgestellt ergibt das $\begin{eqnarray} x = 2\arctan(y) \end{eqnarray}$ und damit differenziert $\begin{eqnarray} \dot{x} = \frac{2}{1+y^2} \dot{y} \end{eqnarray}$ . Additionstheoreme ergeben (siehe auch verlinkter Beitrag) $\begin{eqnarray} \sin(x) = \frac{2y}{1+y^2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cos(x) = \frac{1-y^2}{1+y^2} \end{eqnarray}$ . All dies in deine DGL $\begin{eqnarray} \dot{x}=m+n\sin(x)+k\cos(x) \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} \frac{2}{1+y^2} \dot{y} = m + n\frac{2y}{1+y^2} + k\frac{1-y^2}{1+y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{y} = \frac{m}{2}(1+y^2) + ny + \frac{k}{2}(1-y^2) = \frac{m+k}{2} + ny + \frac{m-k}{2}y^2 \end{eqnarray}$ .
05.06.2018, 13:37	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Hal9000!

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