Gekoppeltes DGL-System

05.06.2018, 17:45	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Gekoppeltes DGL-System Guten Abend, man betrachte das unendlich dimensionale DGL-System $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}x_i = ik\omega x_i + \frac{i}{2}(Hx_{i-1}-H^ x_{i+1}) \qquad (1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k,\omega \end{eqnarray}$ konstanten, $\begin{eqnarray} ^* \end{eqnarray}$ komplex konjugiert , $\begin{eqnarray} H=H(t) \end{eqnarray}$ komplexe Fkt. Die Annahme, dass $\begin{eqnarray} x_2=x_1^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_n =x_1^n \end{eqnarray}$ gilt, soll das gesamte System auf eine Gleichung reduzieren. Ich habe mir mal ein paar Komponenten aufgeschrieben um die letze Aussage nachzuvollziehen ( $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}x_n= \frac{d}{dt}[x_1^n]= n x_1^{n-1}\frac{d}{dt}x_1 ) \end{eqnarray}$ . Zur Übersichtlichkeit verwende ich die Physiker-Notation $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}x:=\dot{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{x}_1 = ik\omega x_1 + \frac{1}{2}(Hx_{0}-H^* x_{2}) = ik\omega x_1 + \frac{1}{2}(H-H^* x_{1}^2) \qquad (2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{x}_2 = ik\omega x_2 + \frac{2}{2}(Hx_{1}-H^* x_{3})= ik\omega x_1^2 + (Hx_{1}-H^* x_{1}^3)=2x_1 \dot{x}_1=2x_1 \cdot \left( ik\omega x_1 + \frac{1}{2}(H-H^* x_{1}^2)\right) \qquad (3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{x}_3 = ik\omega x_3 + \frac{3}{2}(Hx_{2}-H^* x_{4})= ik\omega x_1^3 +\frac{3}{2} (Hx_{1}^2-H^* x_{1}^4)= 3x_1^2\dot{x}_1=3x_1^2 \cdot \left( ik\omega x_1 + \frac{1}{2}(H-H^* x_{1}^2)\right) \qquad (4) \end{eqnarray*}$ Erstens verstehe nicht wie der Ansatz das unendlich dimensionale System (1) auf eine Gleichung reduziert und zweitens ist dieser doch fehlerhaft, wie man in den letzten Teilen der Glg. (3),(4) sieht (es taucht ein Vorfaktor im ersten Term auf). Übersehe ich etwas?
06.06.2018, 18:47	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand ne Idee?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »