Schwerpunkt einer Fläche

06.06.2018, 18:01	Anon1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt einer Fläche Meine Frage: Es soll der Schwerpunkt einer Fläche bestimmt werden, die durch 3 Kurven eingeschlossen ist. Die 3 Kurven wurden gefunden zu: $y=-x+2$ $y=\frac{1}{2} x+2$ $y=(x-2)^2$ Meine Ideen: Der Schwerpunkt einer Kurve ist gegeben durch $\int_{a}^{b} \! \sigma(x,y)x\, dx dy$ wobei M mit der Formel gefunden wird: $M=\int_{A}^{} \! \int \! \sigma(x,y) \, dxdy$ Nun weiss ich aber nicht, was meine Funktion $\sigma(x,y)$ ist und wie meine Grenzen lauten... Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
06.06.2018, 18:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den grauen Flächenbereich nenne ich $\begin{align} B \end{align}$ . Sein Flächeninhalt sei $\begin{align} F \end{align}$ . Dann können die Koordinaten $\begin{align} x_S \end{align}$ und $\begin{align} y_S \end{align}$ des Schwerpunktes mit Hilfe von $\begin{align} x_S = \frac{1}{F} \int_B x ~ \dd(x,y) \, , \ \ y_S = \frac{1}{F} \int_B y ~ \dd(x,y) \end{align}$ berechnet werden. Die Integrale sind Bereichsintegrale. Alle Berechnungsmethoden, die du für solche kennst, kannst du anwenden.
06.06.2018, 18:27	Anon1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, Leopold. Leider komme ich nicht auf die richtigen Begrenzungen meiner beiden Integrale, die ich benötige, um die Fläche mittels Bereichsintegralen auszurechnen...
06.06.2018, 18:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man integriert über $\begin{align} x \end{align}$ von 0 bis 4. Da sich aber bei $\begin{align} x=2 \end{align}$ die unteren Begrenzungsgraphen ändern, teilt man die Integration auf in $\begin{align} x \in [0,2] \end{align}$ und $\begin{align} x \in [2,4] \end{align}$ . Wie sind in den beiden Teilintervallen die $\begin{align} y \end{align}$ -Grenzen zu wählen? $\begin{align} x_S = \frac{1}{F} \left( \int_0^2 \int_{\text{???}}^{\text{???}} x ~ \dd y ~ \dd x \ + \ \int_2^4 \int_{\text{???}}^{\text{???}} x ~ \dd y ~ \dd x \right) \end{align}$
06.06.2018, 19:17	Anon1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz herzlichen Dank für diese Antwort, das wirkt so logisch jetzt! Zumindest der eine Teil. Als Grenzen vom 1. Teil würde ich unten (-x+2) und oben (0.5x+2) verwenden. Beim zweiten Doppelintegral würde ich unten (x-2)^2 und oben (0.5x+2) einsetzen. Was sich mir noch nicht ganz erschliesst, ist, wie ich nun auf den Flächeninhalt F komme, durch den ich nun das ausgerechnete Integral teilen soll? Numerisch erhalte ich für mein $\begin{eqnarray} x_s = \frac{1}{F} (16) \end{eqnarray*}$
06.06.2018, 20:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Weg und Ergebnis stimmen. Zur Bestimmung des Flächeninhalt integrierst du genau so wie eben, nur über $\begin{align} 1 \end{align}$ statt $\begin{align} x \end{align}$ als Integranden. Du kannst den Flächeninhalt aber auch mit elementaren Methoden und Schulmathematik bestimmen. Wenn du zum Beispiel die Geraden $\begin{align} x=0 \end{align}$ und $\begin{align} x=4 \end{align}$ zeichnest, dann schließen diese mit der $\begin{align} x \end{align}$ -Achse und der Geraden $\begin{align} AC \end{align}$ ein rechtwinkliges Trapez ein. Von diesem sind zwei weiße Flächen wegzunehmen, eine davon ein Dreieck, die andere mit Schulmathematik zu ermitteln.
Anzeige

07.06.2018, 21:20	Anon1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank für deine Antworten, Leopold. Die Frage hat sich mit deiner Hilfe geklärt und ich bin aufs korrekte Ergebnis gekommen. Doch zu deiner Alternativlösung habe ich eine Frage. Sie klingt auch sehr spannend, doch mir erschließt sich nicht, wie ich die "rechte weiße Fläche" mit Schulmathematik ermitteln könnte (ohne Integral), um sie vom Trapez abzuziehen?
07.06.2018, 21:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit "Schulmathematik" meinte ich hier durchaus auch Integralrechnung, aber eben einer Variablen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »