Stetige Verteilung --> Mittlere Lebensdauer

07.06.2018, 09:39	fiesematente	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Verteilung --> Mittlere Lebensdauer Meine Frage: Ein Produkthersteller hat festgestellt, dass im Schnitt 15 Jahre nach Herstellung 74 von 100 Produkten nicht mehr Funktionieren. Jetzt muss die mittlere Lebensdauer T (in Jahren) ermittelt werden. Habe eine Schulwebsite wo ich einige Versuche habe um diese Aufgabe zu lösen. Leider brauch ich Sie auch unbedingt um an der Prüfung Teilnehmen zu dürfen und hab nur noch einen Versuch. Wie rechne ich das? Meine Ideen: Dreisatz hat nicht funktioniert: 74/15 (um herauszubekommen wie viele rein im Schnitt jährlich kaputt gehen) (74/15)100 (Um herausbekommen wann alle rein im Schnitt kaputt sein müssten) Nachdem das nicht funktioniert hat, ist mir aufgefallen das ich die mittlere Lebensdauer brauche, und hab es einfach durch zwei geteilt. Aber es noch nicht versucht. Weil es mein letzter Versuch ist. ((74/15)100)/2 (um rein im Schnitt die Mitte zu finden)
07.06.2018, 09:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
An sich ist die Aufgabe so unlösbar, und zwar wegen unzureichender Information zu dem Typ Lebensdauerverteilung, der hier anzuwenden ist. Die denkbar einfachste Lebensdauerverteilung wäre die Exponentialverteilung, welche durch eine konstante Ausfallrate über die Zeit gekennzeichnet ist - typischer für die meisten Produkte ist jedoch da eher ein Badewannenprofil (wird in Wiki erklärt). Sei's drum, mangels anderer Info würde ich das hier mit der Exponentialverteilung durchziehen, d.h. wir nehmen an, dass die Produktlebensdauer $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ verteilt ist gemäß $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ , und der Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist aus den Angaben der Aufgabe zu schätzen: Verteilungsfunktionswert $\begin{eqnarray} F(t)=P(T\leq t)=1-e^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Lebensdauer des Produktes $\begin{eqnarray} \leq t \end{eqnarray}$ ist, m.a.W., dass es zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nicht mehr funktioniert. Bei insgesamt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Produkten mit bereits $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ausgefallenen Produkten zum Zeitpunkt ist daher statistisch gesehen $\begin{eqnarray} F(t) = 1-e^{-\lambda t} \approx \frac{k}{n} \end{eqnarray}$ (exakt = stimmt das nur im Grenzwert $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ , siehe "Gesetz der großen Zahlen"). Eine Schätzung $\begin{eqnarray} \hat{\lambda} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ kann man nun gewinnen durch Gleichsetzung $\begin{eqnarray} 1-e^{-\hat{\lambda} t} = \frac{k}{n} \end{eqnarray}$ und auflösen nach $\begin{eqnarray} \hat{\lambda} \end{eqnarray}$ . Hier gegeben sind $\begin{eqnarray} t=15 \end{eqnarray}$ (Jahre) sowie $\begin{eqnarray} k=74 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=100 \end{eqnarray}$ . Die mittlere Lebensdauer, um die es hier ja geht, ist $\begin{eqnarray} E(T)=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ , eine entsprechende Schätzung dafür ist demnach $\begin{eqnarray} \frac{1}{\hat{\lambda}} \end{eqnarray}$ mit dem eben berechneten $\begin{eqnarray} \hat{\lambda} \end{eqnarray}$ .

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