Globales Extremum |
07.06.2018, 13:45 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Globales Extremum wie kann man bei folgender Frage arumentieren: Sei differenzierbar mit genau einem lokalen Extremum im Punkt. Dann ist es sogar ein globales Extremum. Wie macht man das? |
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07.06.2018, 15:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Betrachten wir o.B.d.A. als lokale Minimumstelle. Jetzt nimm an, dass nicht globale Minimumstelle ist und führe diese Annahme zum Widerspruch, wobei du in der Argumentation ja verwenden darfst, dass es keine weiteren lokalen Extremstellen geben darf. P.S.: Bereits im stimmt die Behauptung nicht: hat nur einen lokalen Extrempunkt (0,0), der ist aber nicht global. |
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07.06.2018, 15:41 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn keine globale Minimalstelle wäre, dann gäbe es einen Punkt , der einen kleineren Funktionswert hat. Das wäre dann ein weiteres lokales Minimum, was es aber nach Vorausstzungen nicht geben kann. Geht das? |
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07.06.2018, 15:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja.
Nein: Die Funktion kann ja weiter monoton fallen bis . So einfach ist es also nicht. |
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07.06.2018, 16:04 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie wäre denn das entscheidene Arugment |
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07.06.2018, 16:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Eins" reicht nicht, zumindest nicht bei mir, vermutlich stelle ich mich zu umständlich an... Angenommen, ist nicht globales Minimum, dann gibt es eine Stelle mit - soweit folge ich dir. Dabei können wir o.B.d.A. von ausgehen - die Argumentation im anderen möglichen Fall verläuft ziemlich analog. Laut Satz vom Minimum und Maximum nimmt die ja auch stetige Funktion auf dem kompakten Intervall ihr Maximum an, d.h. die Menge der zugehörigen Maximumstellen ist nichtleer. Ist auch , d.h. gibt es eine Maximumstelle im Inneren dieses Intervalls, so ist dieses auch lokale Maximumstelle der Gesamtfunktion, Widerspruch zur Einzigkeit der lokalen Extremstelle von . Andernfalls ist , wegen kann es aber nur sein, d.h., ist auch die einzige Maximumstelle der auf eingeschränkten Funktion. Da lokales Minimum ist, gibt es ein mit für alle . Gleichzeitig gilt wegen der Einziges-Maximum-Eigenschaft im Intervall aber auch für all diese , was ein klarer Widerspruch ist. |
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07.06.2018, 16:56 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe noch nicht alles genau. Du sagst die Funktion nimmt auf dem kompakten Intervall ihr Maximum an und damit ist Menge der Maximalstellen nichtleer, weil ja ein Element mindestens enthalten ist. Warum sollte aber dann das gelten: , |
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07.06.2018, 17:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lies doch mal bitte richtig:
D.h. das erste kennzeichnet einen möglichen (!) Fall, in dem dann dieses und jenes gefolgert werden kann. Tritt der Fall jedoch nicht ein, dann eben der andere unten genannte, denn ist ja gemäß dem Satz eine nichtleere Teilmenge von . |
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07.06.2018, 17:06 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aso, dann betrachtest du , also die Ränder des Intervalls, weil du vorher das Innere des Intervalls schon behandelt hast oder? |
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07.06.2018, 17:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klar, was denn sonst. Ich hab das aber nicht ohne Grund so umständlich formuliert, weil ich in dem zweiten Fall unbedingt "einziges (!) Maximum am Rand" haben wollte, nicht nur "irgendein Maximum am Rand", letzteres hätte nämlich den Beweis nur noch ein bisschen (und das eben unnötig) länger gemacht. |
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07.06.2018, 17:15 | MatheStudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir Ich habe alles verstanden |
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09.06.2018, 18:35 | Mathestudent500 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ich hätte noch eine Anmerkung. Reicht es auch zu argumentieren, dass die 1. Ableitung nur an der Stelle x_0 einem Vorzeichenwechsel hat? |
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