Differentialgleichung mit Substitution loesen

07.06.2018, 14:10	einHeini	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit Substitution loesen Meine Frage: Hallo, ich moechte folgende Differentialgleichung loesen, aber ich komme an einer Stelle einfach nicht weiter. Vielleicht schaue ich einfach schon zu lange drauf... Die Aufgabe lautet: y' = f(y/x) Meine Ideen: Ich setze z = (y/x) => y = z * x und y' = f(z) Das leite ich ab nach x y' = z' * x + z Jetzt habe ich zwei Terme die ich gleichsetze, naemlich: y' = f(z) y' = z' * x + z also: f(z) = z' * x +z das stelle ich nach z' um und setze z' = dz/dx: dz/dx = (f(z) - z)/x Trennung der Variablen und integrieren: int(1/(f(z) - z) dz) = int(1/x dx) Weiteres Vorgehen waere ja jetzt, die Integrale zu loesen und dann nach z umzustellen. Danach y = z * x hernehmen und fuer z einsetzen. Allerdings was ich irgendwie nicht wie ich int(1/(f(z) - z) dz) haendeln muss, kann ich da einfach fuer f(z) irgendwas sinnvolleres einsetzen?
07.06.2018, 14:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nichts weiter gegeben ist, dann ist an sich an der Stelle $\begin{eqnarray} \int\limits \frac{\dd z}{f(z)-z} = \int \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln\|x\| + C \end{eqnarray}$ erstmal Schluss mit konkretem Rechnen. Eins sollte man aber noch diskutieren: Die Division durch $\begin{eqnarray} f(z)-z \end{eqnarray}$ ist natürlich nur statthaft, wenn dieser Term ungleich Null ist. Ist aber etwa $\begin{eqnarray} f(z)=z \end{eqnarray}$ die gegebene Funktion, dann geht das nicht! Diesen Sonderfall sollte man daher extra betrachten, und der führt ziemlich schnell zu $\begin{eqnarray} z'=0 \end{eqnarray}$ und damit konstanten Lösungen $\begin{eqnarray} z=C \end{eqnarray}$ , und damit Lösung $\begin{eqnarray} y=Cx \end{eqnarray}$ der originalen DGL $\begin{eqnarray} y' = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ .
07.06.2018, 15:04	einHeini	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu f ist nichts weiter angegeben, dann ist an der Stelle wohl Schluss. Danke fuer deine Antwort!

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