Frage zu Mod m

09.06.2018, 14:44	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Mod m Hallo es sind a,b,c ganze Zahlen und m eine natürliche größer 0. man soll die Äquivalenz von $\begin{eqnarray} ac \equiv bc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod_m \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} a \equiv b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod _{m/ggtT(c,m)} \end{eqnarray}$ zeigen . die Rückrichtung habe ich so : sei also $\begin{eqnarray} a \equiv b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod _{m/ggtT(c,m)} \end{eqnarray}$ dh $\begin{eqnarray} m/ggt(c,m)\|b-a \end{eqnarray}$ dh es gibt eine ganze Zahl k sodass : $\begin{eqnarray} k(b-a)=m/ggt(c,m) \end{eqnarray}$ umformen bring mir : $\begin{eqnarray} k(b-a)ggt(c,m)=m \end{eqnarray}$ dh also dann $\begin{eqnarray} m\|(b-a) \end{eqnarray}$ deswegen auch $\begin{eqnarray} m\|c(b-a)=ac-bc \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} ac \equiv bc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod_m \end{eqnarray}$ umgekehrt wenn gilt : $\begin{eqnarray} ac \equiv bc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod_m \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} m\|c(b-a) \end{eqnarray}$ deswegen auch $\begin{eqnarray} m\|c(b-a)ggt(c,m) \end{eqnarray}$ also gibt es wieder eine ganze Zahl k sodass : $\begin{eqnarray} kc(b-a)ggt(c,m)=m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} kc(b-a)=m/ggt(c,m) \end{eqnarray}$ hier hat man rechts eine ganze Zahl da kc auch eine ist gilt $\begin{eqnarray} m/ggt(c,m)\|(b-a) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a \equiv b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} mod _{m/ggtT(c,m)} \end{eqnarray}$ hätten oben nicht äquivalenzen gegolten , bzw hätte ich mir die zweite Richtung nicht sparen können? bzw passt das so?
09.06.2018, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier in beiden Richtungen einen gravierenden Denkfehler. Aus x\|yz folgt nicht x\|y
09.06.2018, 19:01	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt ja , 10\|2*5 aber 10 teilt nicht 2 und 5 . wie kann ich anders vorgehen?
09.06.2018, 19:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der ggT muss eine besondere Rolle spielen, also musst du geeignete Definitionen und Eigenschaften des ggT zusammentragen und mit geeigneten Definitionen und Eigenschaften der Kongruenz in Beziehung setzen. Ich habe noch nicht versucht, einen Beweis zu machen, ich habe nur bemerkt, dass dein Versuch in die Hose ging.
09.06.2018, 19:58	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
hm es gilt $\begin{eqnarray} \|cm\|=ggt(c,m)kgv(c,m) \end{eqnarray}$ wenn man den ggt (c,m)=d setzt ( kürzere Schriebweise) wenn $\begin{eqnarray} a \equiv b \end{eqnarray}$ mod $\begin{eqnarray} m/d \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} m/d \|(a-b) \end{eqnarray}$ daraus dann $\begin{eqnarray} km=(a-b)d \end{eqnarray}$ das heist aber das $\begin{eqnarray} m\|d(a-b) \end{eqnarray}$ da gilt $\begin{eqnarray} d\|c \end{eqnarray}$ so gilt auch $\begin{eqnarray} m\|c(a-b) \end{eqnarray*}$ ich glaube hier habe ich die Teilungsregel von oben nicht verletzt , nur ausgenutzt das der ggt die beiden Zahlen teilt. die andere Richtung bereitet mir mit der Teilungsregel noch probleme . bzw komme ich gerade nicht auf die Eigenschaft die man vl brauchen kann.

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