Doppelintegrale

09.06.2018, 17:18

Kathreena

Doppelintegrale

Berechne folgende Doppelintegrale

a.) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \, \int_{-1}^{1} \! x \cdot e^{xy} \, dx dy \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \, \int_{-1}^{1} \! y \cdot sin(|x| y) \, dx dy \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

a.) ich löse innere Integral.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! x \cdot e^{xy} \, dx = \frac{(y-1)e^y + (y+1)e^{-y}}{y^2} \end{eqnarray*}$

Dann das zweite:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{(y-1)e^y + (y+1)e^{-y}}{y^2} dy = \int_{0}^{1} \! \frac{(y-1)e^y}{y^2} \, dy + \int_{0}^{1}\frac{(y+1)e^{-y}}{y^2} dy \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung (Partielle Integration $\begin{eqnarray*} f' = \frac{1}{y^2}, g = (y-1)e^y \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{(y-1)e^y}{y^2} \, dy = - \frac{(y-1)e^y}{y} - \int_{0}^{1} \! -\frac{(y-1)e^y + e^y}{y} \, dy = \left[- \frac{(y-1)e^y}{y} + e^y\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Und hier is schon das Problem das man das Integral nich berechnen kann. Soll ich da einfach schreiben, Integral ist nicht konvergent ?

b.) Zuerst das innere Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! y \cdot sin(|x| y) \, dx = \frac{x}{|x|} \int_{-1}^{1} \! \frac{|x|}{x} y \cdot sin(|x| y) \, dx = \frac{x}{|x|} \int_{-1}^{1} \! \frac{x}{|x|} y \cdot sin(|x| y) \, dx = y \cdot \frac{x}{|x|} \int_{-1}^{1} \! \frac{x}{|x|} \cdot sin(u) \frac{|x|}{yx} du = \left[\frac{x}{|x|} - cos(|x|y)\right]_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber nun die grenzn einsetze:
$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x}{|x|} (- cos(|x|y))\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{|1|} \cdot (- cos(y \cdot |1|)) - \frac{1}{|-1|} \cdot (- cos(y \cdot |-1|)) = - cos(y) + cos(y) = 0 \end{eqnarray*}$

Aber Taschenrechner kommt auf :
$\begin{eqnarray*} 2-2cos(y) \end{eqnarray*}$

09.06.2018, 18:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Lösung von a) darfst du in der zweiten Lösungszeile das Integral nicht aufspalten, da du beim Aufspalten divergente Integrale erhältst. Das heißt aber noch lange nicht, daß das Ausgangsintegral selbst divergiert. Der Trick ist hier, gleich zu Anfang die Integrationsreihenfolge zu vertauschen.

Dein Lösungsansatz bei b) ist mir viel zu kompliziert. Beachte, daß beim inneren Integral über eine in $\begin{align*} x \end{align*}$ gerade Funktion integriert wird. Damit kann man sich sogleich und für alle Zeit vom Betrag befreien.

10.06.2018, 15:12

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. dann sag ich bei a.)

$\begin{eqnarray*} x \cdot e^{xy} \end{eqnarray*}$ ist stetig für $\begin{eqnarray*} [0,1]x[-1,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ (satz von Fubini).

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \, \int_{-1}^{1} \! x \cdot e^{xy} \, dx dy = \int_{-1}^{1} \! \, \int_{0}^{1} \! x \cdot e^{xy} \, dy dx \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich das recht einfach berechnen.

b.)
Verstehe nich ganz deinen Hinweis.

$\begin{eqnarray*} sin(-1) \neq sin(1) \end{eqnarray*}$
Deswegen spielt der Betrag für mich doch eine Rolle.

Ich nehme an, das mit gerader funktion f(x) = f(-x) gemeint ist.

10.06.2018, 15:31

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
Ich nehme an, das mit gerader funktion f(x) = f(-x) gemeint ist.

So ist es. Für eine gerade Funktion $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} \int_{-a}^a f(x) ~ \dd x \ = \ 2 \int_0^a f(x) ~ \dd x \end{align*}$ . Hier ist im inneren Integral $\begin{align*} f(x) = y \cdot \sin \left( |x| y \right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} y \end{align*}$ als Parameter. Und $\begin{align*} |x|=x \end{align*}$ für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ .

10.06.2018, 16:03

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Sinus ist doch eine ungerade Funktion.

10.06.2018, 16:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Niemals hat jemand etwas anderes behauptet. Aber warum ignorierst du beharrlich den Betrag?