Komplexe Gleichung lösen

10.06.2018, 17:18

long199x

Komplexe Gleichung lösen

Meine Frage:
Guten Tag!

Ich möchte die Gleichung $\begin{eqnarray*} (z+i)^{3} = -i \end{eqnarray*}$ mithilfe der Exponentialform lösen.

Man kann die Gleichung ja auch konventionell mit der PQ-Formel lösen, was ich bereits schon gemacht und die folgenden Lösungen bekommt habe.
$\begin{eqnarray*} z1 = 0 z2 = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3i}{2} z3 = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3i}{2} \end{eqnarray*}$
PS: Ich habe irgendwo beim Recherchieren gesehen, dass $\begin{eqnarray*} -i = e^{-i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt es?

Vielen Dank im Vorraus

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (z+i)^{3} = -e^{i\frac{\pi}{2}} z + i = -e^{i\frac{\pi}{6}} z = -e^{i\frac{\pi}{6}} - e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$
Hier komme ich leider nicht weiter. Ich habe keine Ahnung wie ich die beiden e zu einem e reduzieren kann.

11.06.2018, 08:56

klarsoweit

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RE: Komplexe Gleichung lösen

Zitat:

Original von long199x
PS: Ich habe irgendwo beim Recherchieren gesehen, dass $\begin{eqnarray*} -i = e^{-i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt es?

Ja. (Das kann man auch leicht nachrechnen.)

Zitat:

Original von long199x
$\begin{eqnarray*} (z+i)^{3} = -e^{i\frac{\pi}{2}} z + i = -e^{i\frac{\pi}{6}} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle solltest du bedenken, daß es 3 komplexe Zahlen y_k, k Element von {1, 2, 3}, gibt, so daß $\begin{eqnarray*} y_k^3 = -i \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} -e^{i\frac{\pi}{6}} \end{eqnarray*}$ ist nur eine davon, wobei ich dafür eher die Darstellung $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{7\pi}{6}} \end{eqnarray*}$ bevorzugen würde.

Zitat:

Original von long199x
Hier komme ich leider nicht weiter. Ich habe keine Ahnung wie ich die beiden e zu einem e reduzieren kann.

Will das jemand haben? Im Moment sehe ich nicht die Notwendigkeit.

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