Gleichheit der Dreiecksungleichung bei komplexen Zahlen

10.06.2018, 20:30

susu99

Gleichheit der Dreiecksungleichung bei komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Ich sitze grad an meinem Übungsblatt und ich soll zeigen, dass die Gleichheit der Dreiecksungleichung im komplexen Bereich genau dann gilt, wenn z1/z2 gilt. (z1 element C und z2 element C und z2 ungleich 0).

Bin total am verzweifeln weil ich keinen Ansatz habe :/

Kann mir jemand weiter helfen?

Meine Ideen:
Meine Idee war jetzt z1 und z2 iwie anders aufzuschreiben aber ich wüsste jetzt nicht wie...

10.06.2018, 21:49

005

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RE: Gleichheit der Dreiecksungleichung bei komplexen Zahlen

Zitat:

Original von susu99
... genau dann gilt, wenn z1/z2 gilt.

$\begin{eqnarray*} z_1/z_2 \end{eqnarray*}$ ist eine komplexe Zahl. Eine Zahl kann nicht gelten.

10.06.2018, 21:52

Leopold

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RE: Gleichheit der Dreiecksungleichung bei komplexen Zahlen

Zitat:

Original von susu99
wenn z1/z2 gilt. (z1 element C und z2 element C und z2 ungleich 0).

Das ergibt ja keinen Sinn. Vielmehr soll es wohl heißen:

Für $\begin{align*} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{align*}$ mit $\begin{align*} z_2 \neq 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \left| z_1 + z_2 \right| = \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}_0^+ \end{align*}$ (EDIT: Nach Hinweis von HAL Fehler korrigiert)

Die Bedingung nach dem Doppelpfeil bedeutet: $\begin{align*} z_1 = \lambda z_2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \end{align*}$ (EDIT: korrigiert). Wenn man $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ in kanonischer Weise als $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ -Vektorraum ansieht, könnte man daher die Aussage auch so formulieren: In der Dreiecksungleichung besteht Gleichheit dann und nur dann, wenn $\begin{align*} z_1,z_2 \end{align*}$ linear abhängig sind (EDIT: statt "linear abhängig" sollte es besser "gleichgerichtet" heißen). Bei dieser Formulierung kann man auch auf die Bedingung $\begin{align*} z_2 \neq 0 \end{align*}$ verzichten.

Du kannst jetzt entweder direkt einen Beweis mit komplexen Zahlen führen oder, indem du $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ mit dem euklidischen Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ identifizierst, den üblichen Beweis dieser Aussage für euklidische Vektorräume nachbilden. Stichwort: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Nehmen wir einmal den direkten Weg übers Komplexe. Der Betrag einer komplexen Zahl ist $\begin{align*} |z| = \sqrt{z \bar{z}} \end{align*}$ . Der besseren Lesbarkeit halber schreibe ich $\begin{align*} z_1 = z \end{align*}$ und $\begin{align*} z_2 = w \end{align*}$ . Dann ist zu zeigen:

$\begin{align*} \left| z + w \right| = |z| + |w| \ \ \Leftrightarrow \ \ z,w \ \text{linear abhängig über} \ \mathbb{R} \end{align*}$

Die Gleichung ist eine Gleichung zwischen nichtnegativen reellen Zahlen. Durch Quadrieren erhält man eine äquivalente Gleichung:

$\begin{align*} \left| z + w \right|^{2} = \left( |z| + |w| \right)^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z + w \right) \left( \bar{z} + \bar{w} \right) = z \bar {z} + w \bar{w} + 2 \sqrt{z \bar{z} w \bar{w}} \end{align*}$

Jetzt vereinfache zunächst diese Gleichung, löse dann nach dem Wurzelglied auf und quadriere erneut. Wenn du alles richtig machst, erkennst du schließlich die zweite binomische Formel. Überlege selber, wie es dann weitergeht.

10.06.2018, 22:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Vielmehr soll es wohl heißen:

Für $\begin{align*} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{align*}$ mit $\begin{align*} z_2 \neq 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \left| z_1 + z_2 \right| = \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R} \end{align*}$

Ich votiere eher für

$\begin{eqnarray*} \left| z_1 + z_2 \right| = \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ,

wobei unter $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ nur die nichtnegativen reellen Zahlen zu verstehen sind.

10.06.2018, 22:57

Leopold

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Stimmt! Das ist wirklich tückisch ...
Dabei ist es von der Anschauung her so klar.

11.06.2018, 07:55

susu99

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Hallo Leopold,

Danke für die Hilfe und Mühe smile

Ich versuch das jetzt mal mit dem direkten Beweis.

Die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung sagt mir nicht verwirrt

Also in den Vorlesungen wurde das (noch) nicht erwähnt.

11.06.2018, 11:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Für $\begin{align*} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{align*}$ mit $\begin{align*} z_2 \neq 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \left| z_1 + z_2 \right| = \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}_0^+ \end{align*}$

Eine mögliche andere Variante skizziert: Wir definieren gleich das rechts auftauchende $\begin{eqnarray*} z:=\frac{z_1}{z_2} \end{eqnarray*}$ und ersetzen damit $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ in der Gleichung links, d.h. via $\begin{eqnarray*} z_1=zz_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |zz_2+z_2| = |zz_2|+|z_2| \end{eqnarray*}$

Das ist (ein paar Umformungsschritte später) wegen $\begin{eqnarray*} |z_2|>0 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |z+1|=|z|+1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man etwa $\begin{eqnarray*} z=a+ib \end{eqnarray*}$ ansetzen, damit kommt man zu Kriterium $\begin{eqnarray*} a\geq 0,b=0 \end{eqnarray*}$ , was der Aussage $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ entspricht.

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