Oberflächenintegral

11.06.2018, 14:26

MasterWizz

Oberflächenintegral

Hey Leute,

ich hab hier eine interessante Aufgabe zum Oberflächenintegral.

Aufgabe: Die vom Wasser benetzte Fläche einer Staumauer hat die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} F(u,v)=\begin{pmatrix} R\cos(u) \\ R\sin(u) \\ v \end{pmatrix},\quad -\alpha< u<\alpha\quad 0<v<H \end{eqnarray*}$ . Das Wasser befindet sich auf der konkaven Seite des Mauer. Für den hydrostatischen Druck im Wasser gilt: $\begin{eqnarray*} p(x,y,z)=p_0\left(1-\frac{z}{H}\right). \end{eqnarray*}$ Berechne die resultierende Kraft auf die Mauer.

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \text{Kraft}=\iint\limits_F\!p(x,y,z)\,\mathrm{d}o=\iint\limits_F\!\underbrace{p(x,y,z)}_{=p_0\left(1-\frac{v}{H}\right)}\cdot\underbrace{|\vec{n}|}_{=R}\,\mathrm{d}(u,v) = p_0R\int\limits_{v=0}^H\int\limits_{u=-\alpha}^{\alpha}\left(1-\frac{v}{H}\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \alpha p_0 R H \end{eqnarray*}$

Nur leider soll als Lösung rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \text{Kraft}=-p_0RH\sin(\alpha)e_x \end{eqnarray*}$

Hat jemand Zeit mir den Fehler und richtigen Weg kurz zu erklären? Vielen Dank smile

11.06.2018, 16:03

005

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Dein Integral ist voellig verkehrt. Kraft ist ja wohl ein Vektor. Auf ein Flaechenelement $\begin{eqnarray*} do \end{eqnarray*}$ der Staumauer wirkt die Kraft $\begin{eqnarray*} d\vec{K}=p\vec{n}\,do \end{eqnarray*}$ , macht also ingesamt

$\begin{eqnarray*} \vec{K}=\int\limits_{\text{Staumauer}}p\vec{n}\,do \end{eqnarray*}$ .

Das sind drei skalare Oberflaechenintegrale. Fuer jede Kraftkomponente eines.

11.06.2018, 16:29

MasterWizz

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Hey 005, danke für deine Antwort. Bitte entschuldige, ich habe noch einige Fragen. Ich bin von der Physik fasziniert, habe aber leider noch einige Verständnisprobleme:

1) Kannst du genauer begründen, warum $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{K}=p\vec{n}\mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ ?
2) Du meinst mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ aus 1) sicher $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{eqnarray*}$ , richtig? Denn nur so komme ich mit deiner Anweisung auf das richtige Ergebnis?

11.06.2018, 16:30

MasterWizz

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Hey 005, danke für deine Antwort. Bitte entschuldige, ich habe noch einige Fragen. Ich bin von der Physik fasziniert, habe aber leider noch einige Verständnisprobleme:

1) Kannst du genauer begründen, warum $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{K}=p\vec{n}\,\mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ ?
2) Du meinst mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ aus 1) sicher $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{eqnarray*}$ , richtig? Denn nur so komme ich mit deiner Anweisung auf das richtige Ergebnis?

Edit: Sry für den Doppelpost, kriege ihn nicht mehr gelöscht.

11.06.2018, 17:14

005

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe

Zitat:

Original von MasterWizz
1) Kannst du genauer begründen, warum $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{K}=p\vec{n}\,\mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ ?

Das sagt so die Physik. Auf eine plane Flaeche mit Inhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ uebt ein Druck $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eben eine Kraft vom Betrag $\begin{eqnarray*} K=pA \end{eqnarray*}$ senkrecht zu der Flaeche aus (eventuell von beiden Seiten). Preisfrage: Wenn Du auf 10 km Tiefe tauchst, wirst Du dann eine Flunder oder eher ein Kugelfisch?

Zitat:

2) Du meinst mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o \end{eqnarray*}$ aus 1) sicher $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{eqnarray*}$ , richtig? Denn nur so komme ich mit deiner Anweisung auf das richtige Ergebnis?

Die Formel ist genau so gemeint wie hingeschrieben. $\begin{eqnarray*} do \end{eqnarray*}$ ist ein Flaechenelement der Staumauer und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ die Normale da drauf in Richtung der Kraft. $\begin{eqnarray*} du\,dv \end{eqnarray*}$ ist ein Flaechenelement im Parameterbereich. Das wird erst interessant, wenn man zum Ausrechnen eine Parametrisierung einfuehrt. Das Integral hat schon vorher seine anschauliche Bedeutung.

11.06.2018, 17:21

MasterWizz

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe

Zitat:

Preisfrage: Wenn Du auf 10 km Tiefe tauchst, wirst Du dann eine Flunder oder eher ein Kugelfisch?

Haha hab verstanden: Der Druck nimmt mit der Tiefe zu und damit auch die Kraft, die auf ein Objekt (z.B. Fisch) wirkt smile

Zitat:

Die Formel ist genau so gemeint wie hingeschrieben.

In dem Fall handelt es sich bei deinem $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ um den Einheitsnormalenvektor, richtig? Anderfalls wird wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}o=|\vec{n}|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{eqnarray*}$ im Ergebnis ein R zu viel multipliziert.

11.06.2018, 18:57

005

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Ich meinte eigentlich, was aus Dir wird (ungefragt aufgrund des Drucks), wenn du 10 km tief tauchst. Was duennes Plattes oder was kleines Rundes?

Bei den Formeln bin ich fuer

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{\Phi_u\times\Phi_v}{|\Phi_u\times\Phi_v|} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} do=|\Phi_u\times\Phi_v|\,du\,dv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\vec{o}=\vec{n}\,do \end{eqnarray*}$ .

11.06.2018, 20:43

MasterWizz

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{\Phi_u\times\Phi_v}{|\Phi_u\times\Phi_v|} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} do=|\Phi_u\times\Phi_v|\,du\,dv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\vec{o}=\vec{n}\,do \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir den Normalenvektor einfach unterschiedlich definiert. Für mich ist er nur das Kreuzprodukt der Tangentialvektoren und noch nicht normiert. Es gilt also zusammengefasst $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{K}=p\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$ .

Hast du schon mal eine Anwendungsaufgabe wie diese gesehen oder hast du dir allein aus gesunden Menschenverstand hergeleietet: "Kraft=Druck*Fläche, aber Kraft ist vektoriell und der Druck ist skalar, also integriere ich einfach komponentenweise"?

Hast mir auf jeden Fall stark weiter geholfen, Danke!

Zitat:

Ich meinte eigentlich, was aus Dir wird (ungefragt aufgrund des Drucks), wenn du 10 km tief tauchst. Was duennes Plattes oder was kleines Rundes?

Ok ich nehm die Frage ernst. Ich denke klein und rund. Denn eine Kugel ist der Körper mit dem geringsten Verhältnis Oberfläche/Volumen bei konstantem Volumen. Lass es jetzt keine Fangfrage sein, sonst bin ich voll reingetappt :p

11.06.2018, 22:35

005

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Das ist eigentlich eine Aufgabe nach Schema F. Man fragt die Physik, wie es im Kleinen ist (hab ich gemacht), und sie sagt einem $\begin{eqnarray*} d\vec{K}=p\vec{n}\,do \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Sache auch schon erledigt: Die Gesamtkraft $\begin{eqnarray*} \vec{K} \end{eqnarray*}$ erhaelt man durch Summation (Integration) aller Teilkraefte ueber die gesamte Staumauer, denn fuer Kraefte gilt das Superpositionsprinzip (weshalb man auch komponentenweise rechnen darf). Genau genommen null Eigenleistung meinerseits.

12.06.2018, 12:30

MasterWizz

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RE: Oberflächenintegral Aufgabe
Wenn ich der Physik Fragen stelle, kriege ich nicht so präzise antworten haha. Aber allein die Info $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{K}=p\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$ reicht mir, um auf den Rest zu kommen.

Danke dir smile

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