Doppelintegral berechnen

11.06.2018, 17:19	Erebos	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral berechnen Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} f: \left[0,1\right] \times \left[0,1\right] \rightarrow\mathbb R \end{eqnarray}$ die wie folgt definierte Funktion: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \sqrt{x^2-y^2},\ \|y\| \leq x \ und\ f(x,y) = 0,\ sonst \end{eqnarray}$ . Berechne das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}\int_{0}^{1} \! f(x,y) \, dxdy \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zuerst einmal bin ich mir nicht sicher, ob die Grenzen des äußeren Integrals ein Fehler in der Aufgabenstellung sind, da die Funktion ja erstmal nur für y zwischen 0 und 1 definiert ist. Man kann das innere Integral ja dann von 0 bis \|y\| laufen lassen, da f für \|y\|>x 0 ist. Das erleichter aber nicht wirklich die Integration. Wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht, wie müssen dann die Grenzen aussehen? Ich komme da gerade gar nicht weiter.
11.06.2018, 18:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat passen die Angaben nicht zusammen. Ich schätze aber, daß es $\begin{align} f: \, [0,1] \times [-1,1] \end{align}$ heißen muß. Zudem wird es in der Tat einfacher, wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht, weil man dann keine Aufteilung der Intervalle benötigt. Der effektive Integrationsbereich in der $\begin{align} xy \end{align}$ -Ebene ist das Dreieck mit den Ecken $\begin{align} (0,0), \, (1,-1), \, (1,1) \end{align}$ , da der Integrand außerhalb dieses Dreiecks verschwindet.

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