Doppelintegral, Integrationsbereich umschreiben

11.06.2018, 19:57

Kathreena

Doppelintegral, Integrationsbereich umschreiben

Bestimme $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{arcsin(y)}^{arcsin(\sqrt{y}) } \frac{x}{sin(x)} \, dx dy \end{eqnarray*}$

Hinweis: Schreiben Sie den Integrationsbereich um, um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{sin(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ zu vermeiden.

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} D = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 | arcsin(y) \leq x \leq arcsin(\sqrt{y} ) , 0 \leq y \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arcsin(\sqrt{y} ) \end{eqnarray*}$ ist immer positiv und der größte Wert der da rauskommen kann ist $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arcsin(y) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} [-\pi/2 , \pi /2] \end{eqnarray*}$

Kann ichs dann umschreiben in $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-\pi/2}^{\pi /2 } \frac{x}{sin(x)} \, dx dy \end{eqnarray*}$

Aber das ersprarrt mir immer noch nicht $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{sin(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

11.06.2018, 20:08

10001000Nick1

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RE: Doppelintegral, Integrationsbereich umschreiben

Zitat:

Original von Kathreena
Kann ichs dann umschreiben in $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-\pi/2}^{\pi /2 } \frac{x}{sin(x)} \, dx dy \end{eqnarray*}$

Nein, du hast einfach nur das Integrationsintervall des inneren Integrals vergrößert; warum sollte das das gleiche wie das ursprüngliche Integral sein?

Du sollst zuerst die Integrationsreihenfolge vertauschen. Dazu musst du den Integrationsbereich schreiben als $\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)\} \end{eqnarray*}$ .

Die Konstanten $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ und die Funktionen $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ findest du am besten, indem du dir den Bereich skizzierst.

11.06.2018, 20:46

Kathreena

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Warum darf man die Integrationsreihenfolge vertauschen, wenn die Grenzen nicht Konstant sind. Dachte das wäre verboten.

Meinst du mit Skizzieren, siehe Bild.

$\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

11.06.2018, 20:52

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Kathreena
Warum darf man die Integrationsreihenfolge vertauschen, wenn die Grenzen nicht Konstant sind. Dachte das wäre verboten.

Deswegen musst du zuerst die Menge so schreiben, wie in meinem ersten Kommentar: Mit konstanten Grenzen für x und von x abhängigen Grenzen für y.

In deiner Skizze hast du x und y vertauscht; denn es soll ja $\begin{eqnarray*} \arcsin(y)\leq x\leq \arcsin(\sqrt y) \end{eqnarray*}$ gelten, nicht $\begin{eqnarray*} \arcsin(x)\leq y\leq \arcsin(\sqrt x) \end{eqnarray*}$ .
Und was genau ist jetzt der Definitionsbereich?

11.06.2018, 21:49

Kathreena

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kann das stimmen =
$\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq sin^2(x)\} \end{eqnarray*}$

Dann kürzt sich nach dem integrieren nach y der sin(x) aus dem Nenner.

11.06.2018, 22:01

Leopold

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Zitat:

Original von Kathreena
kann das stimmen =
$\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \color{red} 0 \leq y \leq sin^2(x)\} \end{eqnarray*}$

Fehler rot markiert.

[attach]47426[/attach]

11.06.2018, 22:32

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} D=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, sin^2(x) \leq y \leq sin(x)\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \int_{sin(x)}^{sin^2(x) } \frac{x}{sin(x)} \, dy dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } (\frac{x}{sin(x)} \cdot (sin^2(x)-sin(x))) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } (x \cdot sin(x) - x) dx \end{eqnarray*}$

11.06.2018, 22:38

HAL 9000

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Eine letzte Unkonzentriertheit? Nicht $\begin{eqnarray*} \int_{\sin(x)}^{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \int_{\sin^2(x)}^{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ .

11.06.2018, 22:47

Kathreena

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Stimmt, danke.

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