Gleichmäßige Konvergenz und Existenz von Stammfunktionen

12.06.2018, 21:33	Trisaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz und Existenz von Stammfunktionen Für ein Testat sollte ich die folgende Aussage (ohne Beweis) verwenden. Aus Interesse wollte ich die Aussage aber trotzdem mal bewiesen haben: Sei $\begin{eqnarray} (f_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge stetig Differenzierbarer Funktionen auf einem beschränktem Intervall I. Die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f'_{n})_{n \in \mathbb{N} } \end{eqnarray}$ konvergiere auf I gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} g: I \mapsto \mathbb{ R } \end{eqnarray}$ . Wenn ein $\begin{eqnarray} c \in I \end{eqnarray}$ existiert so, dass $\begin{eqnarray} f_{n}(c) \end{eqnarray}$ konvergiert, so konvergiert $\begin{eqnarray} (f_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} f: I \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f' = g \end{eqnarray}$ . Klar: Da die $\begin{eqnarray} f'_{n} \end{eqnarray}$ stetig sind, ist auch g stetig. Weiß nicht ob das schonmal hilft Kann mir jemand einen Ansatz verraten ? Ich stehe momentan total auf dem Schlauch. Viele Grüße Trisaster
12.06.2018, 21:49	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, verwende, dass aus gleichmäßiger Konvergenz auch die Konvergenz bestimmter Integrale dieser Funktionen folgt. Jetzt verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ . Edit: Das gehört nicht wirklich in die Algebra.
13.06.2018, 23:23	Trisaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich, damit ist der Beweis ja nur noch ein Zweizeiler Die erste von dir genannte Aussage werden wir dann sicherlich auch bald in unser Vorlesung beweisen, falls das nicht schon geschehen ist und bloß von mir verpasst wurde. Meine Frage ist damit beantwortet Ps: Algebra ? Ich würde es der Analysis zuordnen. Kann aber sein das ich mich mit nem Tag verklickt habe Gruß Trisaster
13.06.2018, 23:26	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gestern war's noch in der Algebra. Wahrscheinlich hattet ihr den Satz noch nicht und das ist der Grund, dass ihr die Aussage im Ausgangspost ohne Beweis verwenden dürft.

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