Zahlenfolge aufstellen |
| 13.06.2018, 13:10 | Hanoi. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zahlenfolge aufstellen Hey ich habe gleich zwei Zahlenfolgen, von denen ich die ersten drei Zahlen kenne. Nun hätte ich gerne eine Formel/Funktion, um die nächsten Folgenglieder zu bestimmen. Erste Folge: Z(1)= 1 Z(2)= 5 Z(3)= 15 (Z(4)müsste wahrscheinlich den Wert 37 haben) Zweite Folge: A(1)= 3 A(2)= 10 A(3)= 30 Kann mir jemand helfen? Meine Ideen: Bei der ersten Folge habe ich bereits eine rekursive Formel aufgestellt. Diese lautet: Z(n)=2*[Z(n-1)+(n-1)]+1 Bei der explizieten Formel beiße ich mir jedoch die Zähne aus. Bei der zweiten Folge steh ich komplett im Dunkeln. |
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| 13.06.2018, 14:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Zahlenfolge aufstellen
Du könntest auch Z(n) = 2 * Z(n-1) + 5 * Z(n-2) nehmen. Oder Z(n) = 4 * Z(n-1) - 5 * Z(n-2) . Oder ... 
Du merkst: eine eindeutige Formel wird es nicht geben. |
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| 13.06.2018, 15:52 | Hanoi. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Klarsoweit, Vielen Dank erst einmal für deine schnelle Antwort. Diese Folgen kommen nicht irgendwoher. Es handelt sich um spezielle Spielregeln von "der Turm von Hanoi". Dabei ist eine Variante z.B. das man drei Stäbe hat. Auf beiden sind die gleiche Anzahl an Scheiben (n) der Größe nach aufgebaut. Die einzelnen Scheiben wechseln sich immer in der Farbe schwarz und weiß ab. Einziger Unterschied, der linken Turm beginnt mit einer weißen, der rechte Turm mit einer schwarzen Scheibe. Ziel ist es, am Ende des Spiels einen komplett weißen Turm und einen komplett schwarzen Turm zu erhalten. Dabei sollen die untersten (größten) Scheiben jeweils ihre Position tauschen. Hierfür habe ich bereits das Spiel auf einem Blatt Papier für n=1, 2, 3 durchgespielt. Dies sind die A(n) Werte aus dem ersten Beitrag. Könntest du mir verraten wie ich daraus eine Formel aufstellen kann? LG Hanoi |
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| 13.06.2018, 16:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst mal dies: Danke, dass du nun den dahinter stehenden Sachverhalt nennst - das hättest du gleich tun sollen, denn diese Beschreibung enthält Informationen zur Gesamtfolge, was wesentlich mehr wert ist als nur die Nennung der ersten drei Werte wie oben. Zum Inhalt: Ich verstehe dein Spiel bzw. vielleicht auch deine Beschreibung dazu nicht. Bei Original-Hanoi hat man am Anfang einen vollen Stab (Turm) und zwei leere Stäbe. Bei dir hat man gleich zu Anfang zwei volle Stäbe (die beiden Türme) und folglich nur einen leeren Stab. Wie soll einen das die Bewegungsfreiheit geben, die Hanoi-Regel (nur klein auf größerem, nicht umgekehrt) einzuhalten??? 
Wie soll man aus "drei beide" schlau werden? |
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| 13.06.2018, 17:19 | Hanoi. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Hal, Du kennst das Spiel und die Regeln und hast somit die Schwierigkeit bereits erkannt. Anscheinend gab es da ein Missverständnis. "drei beiden". Drei Stäbe, Zwei Türme mit gleicher Scheibenanzahl. Hierzu mal ein Beispiel. Angenommen wir wählen n=2. Auf dem linken Stab sind eine großr weiße, und darauf eine kleinere schwarze Scheibe. Auf dem mittleren Stab genau das farbliche Gegenteil. Also eine große schwarze und eine kleinere weiße. Bei dieser Variante haben die beiden großen Scheiben den gleichen Durchmesser, ebenso wie die beiden kleinen einen gleich großen Durchmesser haben. Es darf immer nur eine Scheibe bewegt, und niemals eine große auf eine kleine Scheibe gelegt werden. Es ist aber erlaubt zwei gleichgroße Scheiben aufeinander zu legen...wie die beiden Kleinen. Hier einmal die Schrittfolge für n=2 1) eine der kleinen Scheiben wird auf die andere gelegt 2) die nun frei gewordene große Scheibe s (schwarz) wird auf den dritten freien Stab befördert. 3) die beiden kleinen Scheiben werden nacheinander (also in zwei Zügen) auf den dritten Stab und somit auf die Schwarze Scheibe befördert. 4) Die große weiße Scheibe kann nun den Ursprungsplatz der großen Schwarzen einnehmen 5)Beide kleinen auf die große Weiße 6) Die große Schwarze auf den Ursprungsplatz der großen Weißen 7) Die beiden kleinen auf die jeweils farblich passende große befördern |
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| 13.06.2018, 17:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich zähle 10 Schritte, das ist dann wohl dein A(2) ? |
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| 13.06.2018, 17:46 | Hanoi. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. A(2)=10 mit n=1 ist es relativ einfach. Da muss man lediglich eine der zwei großen einmal und die andere zweimal verschoben werden....also A(1)=3 |
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| 13.06.2018, 19:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Vergleich zu Original-Hanoi sehe ich hier eine gewisse Asymmetrie, die die Sache zusätzlich verkompliziert: Aus zwei "Zebratürmen" wird ein großer Zwischenturm gebaut, und der wird aber wieder abgebaut zu zwei einfarbigen Türmen. D.h., man kann nicht einfach den Zwischenturm aufbauen, die eine große Scheibe versetzen, und dann den Zwischenturm rückwärts in genau derselben Weise abbauen (nur mit vertauschten Zielfeldern) wie er aufgebaut wurde - in dem Fall würde man nur die beiden Zebratürme vertauschen und würde z.B. auch im Fall n=2 nur 9 statt 10 Schritte brauchen (wenn ich richtig gezählt habe). EDIT: Ich erkenne hier momentan nicht, wie man hier angesichts der Asymmetrie eine geeignete Rekursion aufbauen kann. Vermutlich muss man die Gesamtprozedur in einzelne Teile aufschlüsseln, z.B. (1) Transfer zweier Zebrastapel in einen gemeinsamen großen Turm: Diskussion mehrerer Varianten für verschiedene Farbschichtungen im Zielturm! (2) Transfer des gemeinsamen großen Turms von einer Position zur nächsten - auch hier: Was passiert dabei mit der Farbschichtung? (3) Transfer des gemeinsamen großen Turms wieder in zwei einfarbige Stapel - kann als Umkehrung einer (!) der Varianten von (1) angesehen werden. Für die Teilprobleme auf Stufe kann man ggfs. dann Rekursionen entwickeln mit Zugriff auf die Anzahlen von Stufe (n-1), aber das ist wie gesagt eher eine Hoffnung/Vermutung. 
Wenn du dir schon halbwegs sicher bist, wie das optimale Vorgehen auf Stufe aussehen könnte, dann beschreibe es doch mal. |
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