Geometrische Reihe - Konkrete Frage

13.06.2018, 15:14

Extra0X0

Geometrische Reihe - Konkrete Frage

Meine Frage:
Hallo zusammen,

irgendwie hänge ich gerade an folgendem Problem. Wir haben in der VL gesagt, dass $\begin{eqnarray*} 1+2+ ...+ 2^{n-1} = 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$ ist aufgrund der geometrischen Reihe.

Meine Ideen:
Ich habe dies jetzt nochmal nachgerechnet, aber ich komme nicht darauf. Bei mir sind die zwei Faktoren vertauscht.
$\begin{eqnarray*} 1+2+ ...+ 2^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 2^{n-1} =\frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 1-2^{n} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir helfen, wo hier mein Fehler liegt?

13.06.2018, 15:21

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrische Reihe - Konkrete Frage
Wenn du auf die richtigen Zeichen achtest und nur bis n-1 summiert, anstatt bis unendlich, dann liegt der einizige Fehler in der Formel: Dort hast du im Zähler $\begin{eqnarray*} 1-2^{n-1} \end{eqnarray*}$ stehen, es sollte aber n im Exponenten sein.

Die Formel für die endliche geometrische Reihe lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=\frac{1-q^{n}}{1-q},\quad q\neq1 \end{eqnarray*}$

Siehst du das? Der Exponent im Zähler ist eins größer als der letzte Summationsindex.

13.06.2018, 15:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrische Reihe - Konkrete Frage

Zitat:

Original von Extra0X0
Ich habe dies jetzt nochmal nachgerechnet, aber ich komme nicht darauf. Bei mir sind die zwei Faktoren vertauscht.
$\begin{eqnarray*} 1+2+ ...+ 2^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 2^{n-1} =\frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 1-2^{n} \end{eqnarray*}$

Da ist ja mehr als ein Fehler drin. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} 1+2+ ...+ 2^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1-2^{n}}{1-2} = 2^n - 1 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Geometrische Reihe - Konkrete Frage

Verwandte Themen