(Klassischer) Integralsatz von Stokes

13.06.2018, 16:53	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
(Klassischer) Integralsatz von Stokes Hey Leute, Der Klassische Integralsatz von Stokes $\begin{eqnarray} \iint\limits_F\!\text{rot}(\vec{v})\,\mathrm{d}\vec{o}=\oint\limits_{\partial F}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s} \end{eqnarray}$ stellt ja den Zusammenhang zwischen einem Flussintegral und einem Kurvenintegral her. (Alle Voraussetzungen sind hinreichend erfüllt). Gegeben sind 2 beliebige verschiedene reguläre Flächen $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ mit der selben Randkurve $\begin{eqnarray} \partial F_1 = \partial F_2 = \partial F \end{eqnarray}$ . Liefern dann die Flussintegrale immer den selben Wert? Also gillt für Alle solche Flächen $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \iint\limits_{F_1}\!\text{rot}(\vec{v})\,\mathrm{d}\vec{o} \overset{?}{=} \iint\limits_{F_2}\!\text{rot}(\vec{v})\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray}$ Mein Gefühl sagt, dass es nicht stimmen kann, aber für mein Gefühl finde ich im Satz von Stokes keinen Hinweis. Könnt ihr mir bitte helfen?
14.06.2018, 11:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe den Stokeschen Satz für beide Flächen hin, also $\begin{eqnarray} \int_{F_1} \! rot(\nu)\,d \vec o = \oint_{\partial F_1} \! \nu\,d \vec s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{F_2} \! rot(\nu)\,d \vec o = \oint_{\partial F_2} \! \nu\,d \vec s \end{eqnarray}$ Subrahiere beiden Gleichungen. Da die Wegintegrale auf der rechten Seite wegen der identischen Randkurven identisch sind, also $\begin{eqnarray} \partial F_1=\partial F_2 \end{eqnarray}$ , folgt das gewünschte $\begin{eqnarray} \int_{F_1} \! rot(\nu)\,d \vec o - \int_{F_2} \! rot(\nu)\,d \vec o=0 \end{eqnarray}$
14.06.2018, 11:12	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow Ehos, vielen Dank und so offensichtlich, wenn man die Lösung sieht. Danke! Haha deshalb liebe ich Mathematik

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