Assoziativität für Abbildung prüfen

14.06.2018, 09:24	OhioSasiman	Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativität für Abbildung prüfen Guten Tag, ich habe eine Frage zu einer (eigentlich) einfachen Aufgabe: Gegeben sind das Intervall [0,1) und die Verknüpfung : (s,t) -> s + t falls s + t < 1, s + t - 1, sonst. Zu zeigen ist, dass mein Intervall zusammen mit der Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet. Wie gesagt sehr einfach, mir fehlt auch nur ein Kriterium: Die Assoziativität, also a(bc)=(ab)*c. Ich verstehe nicht ganz wie ich diese bei dieser Abbildung nachweisen kann, weil ich nicht weiß wie ich zwischen den ganzen Fällen unterscheide, also a+b<1, a+b>1, gepaart mit b+c<1 bzw >1, und (a+b)+c <1 bzw. >1 etc.. Ich hoffe es versteht jemand mein Problem^^ Oder folgt die Assoziativität gar direkt daraus, dass unsere Abbildung sich auf die gewöhnliche Addition beruft? Das wäre schön Würde mich sehr über Hilfe freuen!
14.06.2018, 14:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Assoziativität ist infolge der gewöhnlichen Addition (welche die gegebene Verknüpfung beinhaltet) gegeben. Allerdings gilt diese (bei 3 Elementen a, b, c) definitionsgemäß nur unter der Bedingung a+b+c < 1 (a * b) * c = (a + b) * c = a + b + c a * (b * c) = a * (b + c) = a + b + c mY+
14.06.2018, 15:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Gaußklammer geschrieben ist $\begin{eqnarray} st = s+t - \lfloor s+t\rfloor \end{eqnarray}$ Für den Beweis hier benötigt man neben Kommutativität und Assoziativität der reellen Addition im wesentlichen noch folgende Gaußklammereigenschaft: $\begin{eqnarray} \lfloor x+z\rfloor = \lfloor x\rfloor + z \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R},z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

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