Produkt umformen

15.06.2018, 15:06	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt umformen Meine Frage: Weiß jemand wie ich diesen Term $\begin{eqnarray} \frac{\prod\limits_{k=1}^{n} k+k-1}{n!} \end{eqnarray}$ umformen kann? Meine Ideen: Ich finde einfach nicht die passenden Rechenregeln ich hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben. Vielen Dank schonmal. LG
15.06.2018, 15:17	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt umformen Zum Beispiel so: $\begin{eqnarray} \frac{\prod\limits_{k=1}^{n} k+k-1}{n!}=\left(\frac 12\right)^n{2n\choose n} \end{eqnarray}$
15.06.2018, 15:23	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt umformen vielen Dank. Wie hast du das genau gemacht ? mit dem Binomialkoeffizienten ? oder wie
15.06.2018, 15:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal solltest du unbedingt noch Klammern setzen, d.h. $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n (k+k-1) = \prod_{k=1}^n (2k-1) \end{eqnarray}$ , das ist das Produkt der ungeraden Zahlen $\begin{eqnarray} 1,3,\ldots,2n-1 \end{eqnarray}$ . Erweitere einfach deinen Quotienten mit $\begin{eqnarray} 2\cdot 4\cdot \ldots \cdot (2n-2)\cdot (2n) = 2^n\cdot 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n = 2^n\cdot n! \end{eqnarray}$ , dann steht im Zähler schlicht das Produkt aller Zahlen von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (2n)! \end{eqnarray}$ . Und im Nenner?
15.06.2018, 16:40	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Nenner steht dann $\begin{eqnarray} 2^{n} \prod_{k=1}^{n} k-1/2 \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht täusche.
15.06.2018, 18:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweitern heißt Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem selben Faktor, und der lautet hier (wie oben gesagt) $\begin{eqnarray} 2^n\cdot n! \end{eqnarray}$ . Das bedeutet insgesamt $\begin{eqnarray} \frac{\prod\limits_{k=1}^{n} (2k-1)}{n!} = \frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n\cdot n!} \end{eqnarray}$ .
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