Art der Singularität bestimmen

15.06.2018, 15:14	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Art der Singularität bestimmen Hi Leute, ich habe folgende Aufgabe vor mir: [attach]47467[/attach] Meine Idee bei a) ist, die Laurentreihe aufzustellen, also $\begin{eqnarray} sin\Big(\frac{1}{1-z}\Big) = -sin\Big(\frac{1}{z-1}\Big) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(z-1)^{k}(2k+1)!} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!}(z-1)^{-k} \end{eqnarray}$ Die Laurentreihe hat unendlich viele negative Glieder, also handelt es sich bei $\begin{eqnarray} z_{0} = 1 \end{eqnarray}$ um eine wesentliche Singularität. zu b): $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{z}-1} = \frac{1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}-1} = \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}} = \frac{1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k+1}}{(k+1)!}} = \frac{1}{z\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k+1)!}} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun $\begin{eqnarray} z_{0} = 0 \end{eqnarray}$ wähle, habe ich eine Polstelle erster Ordnung, da ich die Summe ja mit null multipliziere. Wähle ich aber $\begin{eqnarray} z_{0} = 2\pi ik, k\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann muss ich entscheiden, ob die Summe eventuell null wird. Ist das der richtige Weg? zu c) : Es ist $\begin{eqnarray} \frac{z^{3}+3z+2i}{z^{2}+1} = \frac{(z+i)(z-2i)}{z-i} \end{eqnarray}$ Ich kann nun bilden $\begin{eqnarray} (z-i)^{1}\cdot\frac{z^{3}+3z+2i}{z^{2}+1} = (z+i)(z-2i) \end{eqnarray}$ . Die entstandene Funktion ist nun wieder holomorph. Damit ist $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ eine Polstelle der Ordnung 1. Soweit meine Gedanken zu diesen dreien. Zu d) fehlt mir leider der Ansatz noch komplett. Was sagt ihr zu den bisherigen Ausführungen?

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