Diophantische Gleichung |
16.06.2018, 12:36 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diophantische Gleichung mod m . (1) a) (1) hat genau dann eine Lösung wenn g|b b) falls (1) eine Lösung hat , so hat (1) genau g Lösungen . zu a) Wenn (1) eine Lösung hat dann gibt es ein mod m das ist äquivalent zu das ist auch äquivalent zu ; es gibt ein , das ist äquivalent zu das ist die diophantische gleichung welche Lösbar ist genau dann wenn ggt(a,-m)=ggt(a,m)=g|b b) wenn nun (1) eine Lösung hatt dann gilt nach a) g|b. es ist auch bekannt das x dann die form mit einer ganzen Zahl t und einer speziellen Lösung x_0. aber warum sollen es genau g verschiedene nun sein? bzw stimmt mein a)? Danke !! |
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16.06.2018, 12:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht entscheidest du dich zunächst mal, ob du mit oder bezeichnen willst. |
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16.06.2018, 12:46 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sry , ich habe editiert und als g bezeichnet |
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16.06.2018, 13:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist, was man schon als bekannt voraussetzen darf: Wenn du beispielsweise schon den Fall beherrschst, d.h.
voraussetzen kannst, dann ist der Beweis ein leichtes. |
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16.06.2018, 15:21 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, nein den Sonderfall haben wir noch nicht gezeigt . wenn a , m teilerfremd sind wie folgt dann die eindeutige Lösung? |
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16.06.2018, 15:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie weit müssen wir denn dann noch zurück, bis zum Urschleim... Ist wenigstens das "Lemma von Bezout" bekannt? |
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16.06.2018, 15:36 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: dioph. glg achso , wenn wir haben und dies eine Lösung ist dann ist mod m . dh aber dass dh doch dass egal wie t gewählt wird . dh nur eine Lösung . |
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16.06.2018, 15:38 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Lemma kennen wir , also dass g=xa+ym mit ganzen Zahlen x,y . |
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16.06.2018, 15:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na das ist doch endlich mal ein Ansatzpunkt, wir müssen es nur wegen Namenskollision mit der Variablen hier umformulieren:
Im Fall heißt das dann insbesondere , d.h. ist multiplikative Inverse zu . Damit kann man deine Gleichung schlicht multiplizieren und erhält , also die eindeutige Lösung . Damit wäre dieser Fall abgehandelt. Nun zum Fall : 1) Existiert ein mit , dann bedeutet das und damit speziell auch für jeden Teiler von . Speziell gilt das auch für , also , was zu führt. Im Umkehrschluss heißt das, dass es im Fall ein solches nicht geben kann. Sei andererseits , dann setzen wir sowie auch und mit ganzen Zahlen , und bekommen... |
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16.06.2018, 16:39 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay der Fall g=1 ist mir klar. falls g>1 . wenn dann erhalten wir aus mod m doch mod m' . da aber a' und m' teilerfremd sind , so führt uns das zu wieder zum fall g'=ggt(a',m')=1 was wir oben behandelt haben |
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16.06.2018, 17:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Exakt so ist es, es gibt also genau eine Lösung , dem entsprechen die Werte mit ganzen Zahlen . Dies wiederum entspricht modulo den insgesamt verschiedenen Restklassen für . |
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16.06.2018, 17:37 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe , das kommt ca auf das selbe wie : wenn ich weiß das die Lösungsmenge von gleich Man sucht die Anzahl der LÖsungen für die x im Restsystem von mod m liegt. welches genau dann der Fall ist wenn welches g Stücke sind . |
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