Satz Green, Satz Gauß

16.06.2018, 20:43

Kathreena

Satz Green, Satz Gauß

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R ^2, g(x,y) = \begin{pmatrix} x-xy^3\\ y-x^3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D:= \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 | x^2+y^2 =1 \right\} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie für das Vektorfeld, die Zirkulation und den Ausfluss mit Satz von Green, bzw. Satz von Gauß.

Meine Idee:
Hier is mein Problem nich das Integral berechnen, sondern welche Grenzen setz ich ein ?
$\begin{eqnarray*} P(x,y) = x-xy^3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Q(x,y) = y-x^3y \end{eqnarray*}$
Satz von Green:
$\begin{eqnarray*} Z(x,y) = \oint_{L} \! P(x,y) \, dx +Q(x,y) dy = \int \int_{D} \! (Q_x(x,y) - P_y(x,y)) \, dx dy \end{eqnarray*}$

Zirkulation:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-1}^{1} \! (-3x^2y + 3xy^2) \, dx dy \end{eqnarray*}$

Hier kommt bei mir aber = 2(1-x^2) raus. Aber eig. müsste doch ne Zahl rauskommen.

Ausfluss:
$\begin{eqnarray*} \int_{L} \! f(x,y) \, ds = \int \int_{D}\! P_x(x,y) + Q_x(x,y) \, dx dy = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-1}^{1} 2-y^3-x^3 \, dx dy \end{eqnarray*}$

Falls die Frage kommt, warum ich das nich mit Polarkoordinaten rechne, ist mir leider unklar wie ich das Integral dann dementsprechend umwandle.

17.06.2018, 11:31

Huggy

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RE: Satz Green, Satz Gauß

Zitat:

Original von Kathreena
Zirkulation:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-1}^{1} \! (-3x^2y + 3xy^2) \, dx dy \end{eqnarray*}$

Richtig ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \! (-3x^2y + 3xy^2) \, dy dx \end{eqnarray*}$

17.06.2018, 15:59

Kathreena

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Warum vertauscht sich das Integral ?

17.06.2018, 16:37

Huggy

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Da vertauscht sich nichts. Das ist einfach die richtige Angabe der Grenzen, wenn man zuerst (innen) über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integriert und dann (außen) über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Man kann auch umgekehrt zuerst über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren. Dann wären die Grenzen des inneren Integrals $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt {1-y^2} \end{eqnarray*}$ . Die Grenzen des äußeren Intgrals wären unverändert $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ .

17.06.2018, 16:40

Kathreena

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Ah jetzt verstehe ich.

Ok danke, case closed smile

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