Konvexe Funktion, Epigraph, Subniveaumenge

18.06.2018, 00:15

muff-in

Konvexe Funktion, Epigraph, Subniveaumenge

Hallo,

Anbei ist eine Aufgabe aus einer Klausur.

[attach]47496[/attach]

(Bitte auf das Bild klicken um zu vergroessern)

Ich habe bei dieser Aufgabe argumentiert, dass in diesem Abschnitt das Komplement der Subniveaumenge der Epigraph ist, und diese Menge konvex ist. Somit muss auch die Funktion konvex sein.

Warum stimmt das nicht? Was hab ich falsch verstanden?

Danke fuer die Hilfe smile

Edit1: Okay, also ich habe mir die Funktion genauer angesehen und sie ist offentsichtlich konkav (wegen der -2). Aber ist dann die Abbildung nicht total verwirrend/ falsch? Wie gehe ich das naechste mal an so eine Aufgabe ran bzw. was waere die richtige Loesung?

Ist die Loesung: die Subniveaumenge ist konkav, deswegen muss die Funktion auch konkav sein? Aber wenn man den Funktionsterm nicht gegeben haette, koennte man doch so gar nicht argumentieren? In diesem Fall ist die Subniveaumenge gleich dem Hypographen.
Man kann doch nicht Argumentieren, dass wenn der Hypograph nicht konvex ist, ist die Funktion auch nicht konvex. Das ist doch offentsichtlich falsch. Der Hypograph ist immer nicht konvex bei einer konvexen Funktion.

Also wie kann ich anhand der Grafik argumentieren, dass die Funktion nicht-konvex ist?

Koennte mir jemand vielleicht die Subniveaumenge einer konvexen Funktion fuer einen beliebigen Wert zeichnen?

18.06.2018, 20:55

Clearly_wrong

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Der Epigraph ist eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , das kann gar nicht das Komplement der Subniveaumenge sein, die hier gezeichnet ist, denn diese ist eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Daher 0 Punkte.

Dein Denkfehler ist anscheinend, dass der Graph, den man dort sieht, der Funktionsgraph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist nicht der Fall. Dir sollte klar sein, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ einen Graphen hat, der sich nur in einem 3D-Bild veranschaulichen lässt.

Stattdessen wurde folgendes gemacht:
Wenn man die Ungleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y)\leq -1 \end{eqnarray*}$ umstellt, erhält man $\begin{eqnarray*} y\leq 2e^x-1 \end{eqnarray*}$ . Daher ist der Graph von $\begin{eqnarray*} y = 2e^x-1 \end{eqnarray*}$ abgebildet. Alle Punkte, $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , die darunter liegen, erfüllen dann offenbar $\begin{eqnarray*} y\leq 2e^x-1 \end{eqnarray*}$ .

Die richtige Antwort wäre gewesen: Da die abgebildete Subniveaumenge nicht konvex ist, kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konvex sein, da Subniveaumengen konvexer Funktionen immer konvex sind.

Zitat:

Ist die Loesung: die Subniveaumenge ist konkav, deswegen muss die Funktion auch konkav sein?

Wie ist eine konkave Menge definiert? Den Begriff habe ich noch nie gehört.

Zitat:

In diesem Fall ist die Subniveaumenge gleich dem Hypographen.

Nein, es handelt sich um den Hypographen von $\begin{eqnarray*} x\mapsto 2e^{x}-1 \end{eqnarray*}$ , nicht um den von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

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