Positiver Erwartungswert?

19.06.2018, 04:12

Dopap

Positiver Erwartungswert?

Anton und Bernd spielen ein Spiel:

Anton wirft einen Spieloktaeder so lange bis er eine 3 "würfelt"
Bernd versucht nun mit seinem Spieltetraeder diese Anzahl zu unterbieten und erhält im Erfolgsfall eine Geldeinheit von Anton.
Wenn nicht, muss er zwei Einheiten an Anton bezahlen.

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mit dem TR ist $\begin{eqnarray*} \rm Gewinn(Anton) > 0 \end{eqnarray*}$

Die Frage betrifft nun den genauen Wert.

19.06.2018, 07:16

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Anzahl Versuche Anton und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Anzahl Versuche Bernd sowie $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der zufällige Gewinn für Anton. Dann ist $\begin{eqnarray*} G=3\cdot 1_{A\leq B} - 1 \end{eqnarray*}$ mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(G) = 3P(A\leq B)-1 \end{eqnarray*}$ . Es verbleibt die Berechnung

$\begin{eqnarray*} P(A\leq B) = \sum_{k=1}^{\infty} P(A=k)P(B\geq k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{8}\left(\frac{7}{8}\right)^{k-1} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{1}{8} \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{21}{32}\right)^{k-1} = \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{1-\frac{21}{32}} = \frac{4}{11} \end{eqnarray*}$

aus der dann $\begin{eqnarray*} E(G) = \frac{1}{11}>0 \end{eqnarray*}$ folgt.

P.S.: Die leichte Modifikation, dass bei Gleichstand Bernd statt Anton gewinnt, führt bereits zu $\begin{eqnarray*} E(G)=-\frac{2}{11}<0 \end{eqnarray*}$ .

19.06.2018, 11:45

Dopap

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Für diese Aufgabe habe ich ein wenig mit den Variablen und dem TR rumprobiert um ein relativ knappes Ergebnis zu erzielen.

$\begin{eqnarray*} P(A\leq B) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{8} \underbrace{ \left(\frac{7}{8}\right)^{k-1} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}}_{*} \end{eqnarray*}$

Diese (*) vorteilhafte Zusammenfassung zur geometrischen Reihe war im Programm nicht direkt ersichtlich.

Zitat:

P.S.: Die leichte Modifikation, dass bei Gleichstand Bernd statt Anton gewinnt, führt bereits zu $\begin{eqnarray*} E(G)=-\frac{2}{11}<0 \end{eqnarray*}$ .

das war auch so beabsichtigt. Augenzwinkern

19.06.2018, 14:58

HAL 9000

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Wirft Anton einen Spielnonaeder (frag mich nicht, wie man den konstruiert, so dass die Flächen gleichwahrscheinlich werden, mit einem rein platonischen Körper wird es ja offenkundig nix) statt -oktaeder, ansonsten keine Änderung der Spielbedingungen, dann wird das Spiel sogar fair. Big Laugh

EDIT (Stochastisch "sauberer" Ersatz für das Nonaeder): Zwei Würfel, einer bedruckt mit je zweimal 0,3,6, der andere mit je zweimal 1,2,3. Beide werden geworfen und die Augenzahlen addiert.

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