Aufgabe zur Normalverteilung

19.06.2018, 18:07

Lauraundlisa1

Aufgabe zur Normalverteilung

Hallo habe eine Aufgabe zur Normalverteilung.

Zur Aufgabe a)

Es ist $\begin{eqnarray*} P(X<50) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Natürlich führen wir zunächst einmal eine Lineare Transformation durch:

$\begin{eqnarray*} P(X<-1) =\Phi(-1) =1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587 \end{eqnarray*}$

stimmt das so? Also Ich kenne es eigentlich so dass man P(X<= x) so berechnet. Wie berechnet man allerdings P(X<x)?

zur b) $\begin{eqnarray*} P(74\leq X\leq 89) =P(1,4\leq X\leq 2,9)=\Phi(2,9)-\Phi(2,9)=0,9981-0,9192=0,0789 \end{eqnarray*}$

hat jemand ne Idee zur c) ?

19.06.2018, 18:21

HAL 9000

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Wenn man genau wüsste, dass hier nur ganzzahlige Punktzahlen vergeben werden, dann sollte man besser mit der Stetigkeitskorrektur arbeiten, d.h. die Normalverteilungsapproximation im Sinne

$\begin{eqnarray*} P(X<50) = P(X\leq 49) \approx \Phi\left( \frac{49.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

durchführen. Aber k.A., ob das im Sinne des Aufgabenstellers ist.

19.06.2018, 18:38

Lauraundlisa1

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Hm verstehe nicht ganz was du meinst..

Wenn eine Verteilungsfunktion Stetig ist gilt doch dann P(X<=a)=P(X<a) oder verwirrt

19.06.2018, 18:43

Lauraundlisa1

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Lieber Hal was sagst du zu diesem Ansatz bei der C)

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} 0,0968=1-0,9032=1-\Phi(1,3)=P(X\leq (-1,3)*10+60)=P(X\leq 47) \end{eqnarray*}$

also 47 Punkte

19.06.2018, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Hm verstehe nicht ganz was du meinst..

Dann hast du den Link nicht durchgelesen: Diese Stetigkeitskorrektur kommt zur Anwendung, wenn eine eigentlich diskrete Zufallsgröße (wie es ganzzahlige Punktzahlen nun mal sind) durch die stetige Normalverteilung approximiert werden.

19.06.2018, 19:00

Lauraundlisa1

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Lieber Hal was sagst du zu diesem Ansatz bei der C)

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} 0,0968=1-0,9032=1-\Phi(1,3)=P(X\leq (-1,3)*10+60)=P(X\leq 47) \end{eqnarray*}$

also 47 Punkte

Was sagst du dazu ?

Ich habe es mir durchgelesen. Ich liege doch richtig für Stetige Berechnung wäre P(X<50)=P(X<=50).

Ich denke deine Idee ist eine gute.

Was sagst du zur b) und c) ?

20.06.2018, 09:14

HAL 9000

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Ok, zunächst mal gebe ich den Gedanken mit den ganzzahligen Punktzahlen auf. Gehen wir also von stetigen Punktzahlen aus (soll es ja bisweilen geben, Klausuren mit Zehntel- oder gar Hundertstelpunkten).

a) In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} P(X<50) = \Phi(-1) \end{eqnarray*}$ richtig. Bitte unterscheide aber mal dein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von der normierten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-60}{10} \end{eqnarray*}$ : Du schreibst da $\begin{eqnarray*} P(X<-1) \end{eqnarray*}$ , meinst aber eigentlich $\begin{eqnarray*} P(Z<-1) \end{eqnarray*}$ . Derselbe symbolische Unfug bei b).

b) Mit der eben gemachten Anmerkung ist $\begin{eqnarray*} P(74\leq X\leq 89) = P(1.4\leq Z\leq 2.9) \end{eqnarray*}$ richtig, die Rechnung geht ansonsten so durch.

c) Prinzipiell ist das Vorgehen erstmal richtig: Wir suchen ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X<t) = \Phi\left( \frac{t-60}{10} \right) \leq 0.1 \end{eqnarray*}$

Die Symmetriebeziehung $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ ausnutzend ist das gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( -\frac{t-60}{10} \right) \geq 0.9 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt suchen wir in der Tabelle das passende Argument für Funktionswert 0.9. Da hast du 1.3 mit $\begin{eqnarray*} \Phi(1.3)\approx 0.9032 \end{eqnarray*}$ gewählt, aber $\begin{eqnarray*} \Phi(1.28)\approx 0.8997 \end{eqnarray*}$ ist wesentlich näher am Zielwert 0.9 dran. Wenn man es richtig sauber macht, dann würde man lineare Interpolation ansetzen und als passendes Argument

$\begin{eqnarray*} 1.28 + 0.02\cdot \frac{0.9-0.8997}{0.9032-0.8997} \approx 1.2817 \end{eqnarray*}$

wählen. Augenzwinkern

Als Lösung von $\begin{eqnarray*} -\frac{t-60}{10} = 1.2817 \end{eqnarray*}$ bekommt man dann Punktzahl $\begin{eqnarray*} t=47.18 \end{eqnarray*}$ , und das würde ich dann auch so stehen lassen, denn wir hatten uns ja auf stetige Punktzahlen geeinigt (zumindest wurde auf meinen Einwurf hinsichtlich ganzzahliger Punktzahlen nicht eingegangen).

20.06.2018, 12:23

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal smile

Ich verstehe was das Problem ist.
Ich werde meinem Prof. fragen ob nur Ganzzahlige Punkte vergeben werden oder doch Stetige.
Bei einer Antwort melde ich mich dann.
Ich danke dir für die ausführliche Antwort. smile

06.07.2018, 14:19

Lauraundlisa1

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Hallo Hal.

Ich habe zu der Aufgabe noch eine Frage:

Zur b) Angenommen es gibt nur Ganzzahlige Punkte wie muss ich dann rechnen?

P( 74<= X <= 89) ist ja nicht für Diskrete Zufallsvariablen definiert verwirrt

EDIT:

Dann sollte ich doch P( 75< X <=89) berechben oder ?

07.07.2018, 13:09

Lauraundlisa1

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mag mir vllt jemand eine Antwort geben ?

Danke Freude

07.07.2018, 13:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Dann sollte ich doch P( 75< X <=89) berechben oder ?

Nein. Der Grundgedanke dann wäre, dass die diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch die stetig normalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = P\left( k-\frac{1}{2}\leq Y\leq k+\frac{1}{2}\right) = \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{k-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

genähert wird, d.h. der diskreten Einzelwahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} X=k \end{eqnarray*}$ wird die Wahrscheinlichkeit zugeordnet, dass die stetige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in dem symmetrisch um $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ liegenden Intervall der Länge 1 liegt. So zumindest funktioniert das bei der sorgfältigen (!) Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung - und so würde ich es auch hier praktizieren.

Das bedeutet dann insbesondere für Intervallwahrscheinlichkeiten mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b) = P(a-0.5\leq Y\leq b+0.5) = \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ ,

also im Fall $\begin{eqnarray*} a=74,b=89 \end{eqnarray*}$ dann eben

$\begin{eqnarray*} P(74\leq X\leq 89) = \Phi\left( \frac{89.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{73.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ .

07.07.2018, 13:50

Lauraundlisa1

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Hallo Hal!

ach ja das mit der Stetigkeitskorrektur:

Ich habe meinen Prof. deswegen angeschrieben. Die Antwort:

"Sie haben im Prinzip recht. Grundsätzlich wäre eine Stetigkeitskorrektur angebracht. Ich habe in der Vorlesung nicht so einen großen Wert auf die Stetigkeitskorrektur gelegt und diese gar nicht besprochen. (Vielleicht sollte ich das ändern, aber in diesem Jahr habe ich das noch nicht berücksichtigt.) Mir erscheint das Thema der Stetigkeitskorrektur eher ein Nebenthema zu sein, um nicht von dem Hauptthema abzulenken, habe ich es nicht erwähnt. In der Klausur würde ich beide Antworten, diejenigen mit und diejenigen ohne Stetigkeitskorrektur, gelten lassen."

Und was heißt das nun? Gilt dann mit dieser anmerkung P(75<Y<=89) ?

07.07.2018, 13:54

HAL 9000

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Stetigkeitskorrektor hin oder her, ein $\begin{eqnarray*} \geq 74 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} >75 \end{eqnarray*}$ umzuwandeln ist so oder so schon nach GMV Unsinn. unglücklich

07.07.2018, 13:58

Lauraundlisa1

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Ups ja

Wenn überhaupt sollte es P(73<X<86) heißen so sollte es stimmen oder ?
Also ohne STK

07.07.2018, 14:23

HAL 9000

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Ich bin dieser ewigen Nachfragen nach Banalitäten langsam leid - zumal du gleichzeitig das, was ich oben aufwändig geschrieben habe, ja offenkundig sowieso nicht beachten willst. Also mach doch, was du willst bei dieser Approximation, dein Prof. ist ja anscheinend tolerant für alle möglichen Sachen da. Augenzwinkern

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