Partielle Integration auf dem Schwartz-Raum

20.06.2018, 10:15	Sutttzu	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration auf dem Schwartz-Raum Hallo zusammen, definieren tue ich folgenden Operator $\begin{eqnarray} Px(\omega) =\frac{1}{2\pi i} x'(\omega) \end{eqnarray}$ , wobei der Definitionsbereich der Schwartzraum $\begin{eqnarray} \mathcal{S}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ist. Nun möchte ich die Symmetrie von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zeigen. Für $\begin{eqnarray} x,y\in\mathcal{S}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ rechnen wir $\begin{eqnarray} \langle Px,y\rangle = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{2\pi i} x'(\omega) \overline{y(\omega)} d\omega =\left[\frac{1}{2\pi i} x(\omega)\overline{y(\omega)}\right]_{-\infty }^{\infty } -\int_\mathbb{R} \frac{1}{2\pi i} x(\omega)\overline{y'(\omega)}d\omega=\int_\mathbb{R} x(\omega)\overline{\frac{1}{2\pi i}y'(\omega)}d\omega=\langle x,Py\rangle . \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erläutern, warum $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{2\pi i} x(\omega)\overline{y(\omega)}\right]_{-\infty }^{\infty }=0 \end{eqnarray}$ auf dem Schwartz-Raum gelten muss?
21.06.2018, 09:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Integration auf dem Schwartz-Raum Nach Definition von Schwartz-Funktionen gilt $\begin{eqnarray} \lim_{\omega \to \pm \infty} x(\omega) = 0 \end{eqnarray}$ . Außerdem ist das Produkt zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge. Deshalb gilt die gewünschte Aussage.

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