Orthogonale Projektion

20.06.2018, 10:44	Sutttzu	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion Hallo zusammen, gerade versuche ich einen Beweis im einem Skript zu verstehen. Hier werden nun folgende orthogonale Projektionenen auf $\begin{eqnarray} \mathcal{L}^2 ( \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ definiert: $\begin{eqnarray} P_T f(x) = \mathcal{X}_T f(x)\\<br /> Q_\Omega f(x) =\mathcal{F}^{-1}( \mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F}f))(x) , \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ die Fouriertransformation auf $\begin{eqnarray} \mathcal{L}^2 ( \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ bezeichnet und $\begin{eqnarray} \mathcal{X}_T (x)= \begin{cases}1,\ x\in T \\0, \text{ sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Mir ist nich klar, warum diese Projektionen und warum diese orthogonal sind. Kann mir jemand das erläutern? Danke schonmal!
20.06.2018, 12:31	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray} P_T(P_T f)(x) \end{eqnarray}$ und genauso $\begin{eqnarray} Q_{\Omega}^2f(x) \end{eqnarray}$ . Da das hier wirklich extrem einfach ist, sieht es so aus, als hättest du nichts selbst versucht, bevor du Hilfe suchst. Zur Frage nach der Orthogonalität: Wann ist denn eine Projektion orthogonal?
20.06.2018, 13:30	Sutttzu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ja, dass das Projektionen sind ist einfach zu zeigen: $\begin{eqnarray} P_T (P_T f)(x) = \mathcal{X}_T (\mathcal{X}_T f)(x) =\mathcal{X}_T f(x)= P_T f(x)\\<br /> Q_\Omega(Q_\Omega f)(x)= \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F} Q_\Omega f))(x)= \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F} \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F} f))))(x)=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{X}_\Omega \mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F} f))(x)=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{X}_\Omega (\mathcal{F} f))(x)=Q_\Omega f(x) \end{eqnarray}$ Was muss ich für die Orthogonalität zeigen?
20.06.2018, 13:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie auch bei der Projektionseigenschaft: Schlag die Definition nach und rechne es durch. Wenn das nicht klappt, schreib die Definition hier einmal hin und erkläre, wo genau du scheiterst.

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