Bedingte Wahrscheinlichkeit oder nicht (Eindeutigkeit der Lösung) |
| 20.06.2018, 19:06 | Wal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bedingte Wahrscheinlichkeit oder nicht (Eindeutigkeit der Lösung) 20% aller Pkw eines bestimmten Herstellers sind Dieselfahrzeuge. Die Anzahl der Dieselfahrzeuge in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden. 25 Pkw des Herstellers werden zufällig ausgewählt; davon sind drei rot. Aufgabe: Von den ausgewählten Pkw sind genau fünf Dieselfahrzeuge. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind Meine Ideen: Ich habe leider zwei Lösungen: 0,43% und/oder 12% Daher die Frage. Ist diese Aufgabe eindeutig lösbar ? |
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| 20.06.2018, 19:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, man muss sicher die Annahme treffen, dass die Eigenschaften "rot" sowie "Diesel" unabhängig sind. Dies berücksichtigend kann man die Aufgabe mit verschiedenen Zugängen modellieren, die aber alle zum selben Endresultat per Hypergeometrischer Verteilung führen sollten. 1) Erste Möglichkeit: Es gibt 5 Diesel und 20 Nichtdiesel, aus denen wird dreimal ohne Zurücklegen ausgewählt, das sind dann die roten. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Diesel sind, ist dann 2) Zweite Möglichkeit: Es gibt 3 rote und 22 Nichtrote, aus denen wird fünfmal ohne Zurücklegen ausgewählt, das sind dann die Diesel. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Dieseln alle drei roten sind, ist dann . Also rum wie num. 
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| 21.06.2018, 20:41 | wallee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abiaufgabe aus Hessen Die Aufgabe ist dem GK Abitur in Hessen entnommen. In diesem Video kommen da 12% heraus.... Daher die Frage nach der Eindeutigkeit ab Minute 5:42 youtu.be/qITKKz2h_uY BTW: Auch hier wird mit der Unabhängigkeit argumentiert ! Willkommen im Matheboard! Du bist hier zweimal angemeldet, der User Wal wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen |
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| 21.06.2018, 23:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessant; ich kriege weder 12% noch 0,435% Mit HYPGEOMVERT(3;5;5;25) in Excel erhalte ich 3,576% Erfolge Stichpr: 3, Umfang Stichpr:5, Erfolge Grundges.: 5, Umfang Grundges.: 25 mY+ |
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| 21.06.2018, 23:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du gehst von einer Grundgesamtheit von 25 Fahrzeugen aus, unter denen 5 eines bestimmten Typs sind (vermutlich sollen das die Diesel sein, wie bei mir oben in der ersten Variante). Dann ziehst du 5mal (???) und berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass darunter 3 Erfolge, also 3 Diesel sind. Was hat das mit der Fragestellung hier zu tun? 
@wallee Ok, ausnahmsweise habe ich mir das Video mal angeschaut. Die Verfasserin hat diese Aufgabe ja total verbockt: Sie hat einfach nur die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass EIN zufällig aus den 25 Fahrzeugen ausgewähltes Auto die Farbe rot hat - das ist völlig am Thema vorbei. 
P.S.: Wenn man die Frage nicht interpretiert "alle drei roten müssen Diesel sein", sondern nur einzeln, d.h. einfach fragt:
Dann kann man einfach mit der Unabhängigkeit argumentieren, und bekommt aber nicht 12%, sondern . |
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| 22.06.2018, 01:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinen Fehler habe ich gefunden, es gibt nur 3 rote Fahrzeuge (und nicht 5) und 5 Diesel; richtig ist daher HYPGEOMVERT(3;3;5;25) = 0,00435 Erfolge Stichpr: 3, Umfang Stichpr: 3, Erfolge Grundges.: 5, Umfang Grundges.: 25 mY+ |
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| 22.06.2018, 07:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht noch eine dritte Möglichkeit, um den ewigen Zweifler wallee endlich zu überzeugen 3) Man lässt die drei roten nacheinander aus den 25 Fahrzeugen ziehen und schaut dabei, ob es sich jeweils um Diesel handelt. Dabei kommt raus . Erklärung: Beim ersten Auto wählt man noch aus 25, unter denen 5 Diesel sind. Bei der zweiten Wahl - die ja unter der Bedingung stattfindet, dass der erste gezogene schon ein Diesel war - wählt man aus 24, unter denen 4 Diesel sind. Genauso dann bei der dritten Wahl, mit 3 Dieseln unter 23 wählbaren Fahrzeugen. |
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| 22.06.2018, 10:59 | wallee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Warum ist mein Ansatz falsch Erstmal herzlichen Dank für die 3 (!!!) Lösungen - alles kapiert und akzeptiert. Mir geht es aber (wie im Thema angegeben) um die Frage der Eindeutigkeit. Die vorgestellten Lösungen beinhalten folgende Voraussetzungen: Ziehen ohne Zurücklegen Stochastische Unabhängigkeit der Merkmale "Diesel" und "rot" 1. Wieso sind diese Annahmen korrekt ? 2. Warum nicht auch so: P(A)=3/25 P(B)=5/25 P(A∩B)=3/125 Formel: PB(A)=P(A∩B)/P(B) PB(A)=(3/125)/(5/25) Ergebnis: PB(A)=3/25 -----> 0.12 ----> 12% |
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| 22.06.2018, 11:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Ohne Zurücklegen" sollte doch wohl offenkundig klar sein: Wenn wir von drei roten bzw. fünf Dieseln sprechen, dann meinen wir echt 3 rote und echt 5 Diesel!!! Beim Ziehen mit Zurücklegen wäre es auch denkbar, dass wir bei nur einem Diesel und dreimal Ziehen immer den Diesel erwischen und somit das Ereignis eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Ist es aber möglich, dass bei nur einem Diesel unter den 25 alle drei roten Fahrzeuge Diesel sind? Nein! Zu dem Punkt Stochastische Unabhängigkeit der Merkmale "Diesel" und "rot": Es ist keineswegs klar, dass diese Annahme zutrifft. Man macht sie, damit man überhaupt etwas rechnen kann. Sollte diese Annahme nicht zutreffen, dann muss der Aufgabensteller andere Informationen zur Abhängigkeit Farbe/Dieselauto liefern. Tut der dies nicht, dann sind einem hier bei der Rechnung die Hände gebunden. Beispiel: Wenn z.B. die roten Autos alles Sportwagen sind, und die Sportwagen aber alles Benziner, dann ist von vornherein Wahrscheinlichkeit 0 statt für das hier gefragte Ereignis klar. Zu deiner Rechnung: Die kommentiere ich nicht, weil du (eine verbreitete üble Unsitte) die Ereignisse A und B, mit denen du da operierst, gar nicht in ihrer inhaltlichen Bedeutung eingeführt hast und somit auch völlig unklar ist, was das hier mit der vorliegenden Problemstellung zu tun haben soll.
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| 22.06.2018, 14:02 | wallee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A := Der PKW ist rot B := Der PKW ist ein Diesel P("rot" unter der Bedingung "Diesel") = 12%, wegen 3/125 geteilt durch 5/125. Wo ist der Denkfehler ? |
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| 22.06.2018, 14:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Ergebnis ist richtig, herzlichen Glückwunsch, aber was bedeutet denn eigentlich? Es ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass EIN zufällig gewähltes Auto die Farbe rot hat unter der Bedingung, dass es ein Diesel ist. Die eigentliche Fragestellung ging um die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei roten Fahrzeuge Diesel sind - das ist doch was VÖLLIG ANDERES. Da geht es also nicht darum, unter den Dieseln einen auszuwählen und schauen, ob der rot ist. Die umgekehrte Fragestellung, aus den roten einen auszuwählen und schauen, ob er ein Diesel ist, ist da schon näher dran, aber nicht nah genug: Es soll eben nicht nur ein roter ausgewählt werden und diese Frage "Diesel" geklärt werden, sondern bei allen drei! Ist das wirklich so schwer zu kapieren, dass das was anderes ist? Du machst de facto denselben Pfusch wie die youtuberin.
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| 23.06.2018, 15:55 | wallee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke für die übersichtlichen Lösungen und den "bereinigten" Denkfehler. Hypergeometrisch verteilte Zufallsgrößen haben wir gar nicht gemacht im GK.... Aber im Anhang gibt es die angesprochene bedingte W. - Lösung... Ich muss mir jetzt Gedanken machen, warum es überhaupt möglich ist, stochastisch unabhängige Zufallsereignisse zu haben beim Ziehen ohne Zurücklegen - jeder vorherige Zug beeinflusst doch den nächsten.... |
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| 25.06.2018, 14:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist de facto Variante 3) von oben. Da die Eigenschaften "rot" und "Diesel" als unabhängig angenommen werden, hätte man sich in dem Scan die Berechnung von getrost sparen können, denn Unabhängigkeit bedeutet ja direkt .
Ja, mach dir diese Gedanken. Dazu gebe ich noch folgendes mit auf den Weg. Jede einigermaßen nichttriviale Wahrscheinlichkeitsraum enthält abhängige Ereignisse (z.B. sind sämtliche Ereignisse mit abhängig, es ist dann nämlich ), das ist aber noch lange kein Grund, dass nun alle Ereignisse abhängig sein müssen. So sind z.B. Ereignisse, die die Eigenschaft "Diesel" bei den nächsten Ziehungen betrifft abhängig davon, ob diese Eigenschaft bei den vorangegangenen Ziehungen auch schon vorlag bzw. wie oft dort. In dem Sinne hängen also die Werte der bedingten Wahrscheinlichkeit echt von dieser Vorgeschichte ab: Sie steigen bei entsprechend niedriger Dieselanzahl in der Vorgeschichte, sie fallen bei vielen Dieseln in der Vorgeschichte - das alles wegen der bekannten konstanten Gesamtzahl 5 Diesel in der Menge aller 25 Autos. Anders sieht es bei Ereignissen rund um die Farbe rot aus, wenn nach wie vor in der Vorgeschichte nur etwas über Eigenschaft "Diesel" bekannt ist: Ob nun etwa 0, 1 oder 2 Diesel unter bisher zwei gezogenen Fahrzeugen waren, spielt keine Rolle für die Wahrscheinlichkeit von "Rot" für den dritten gezogenen Wagen. (Un-)Abhängigkeit ist also nie die Eigenschaft eines Ereignisses allein, sondern macht nur in Beziehung zu anderen Ereignissen Sinn. |
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