DGL-System 1.Ordnung

21.06.2018, 23:18

Pistazie

DGL-System 1.Ordnung

Meine Frage:
Guten Abend liebe Mathematikgemeinschaft,

ich stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \dot x = 1-(b+1)*x+ a*x^{2}*y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot y = b*x - a*x^{2}*y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$

Wir sollen zunächst ein bisschen herumexperimentieren, dazu gibt es die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} (x_{0}, y_{0})= (3,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1, b=3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe zunächst mal versucht die Fixpunkte von dem DGL-System zu bestimmen.

Dafür soll $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 0 \end{eqnarray*}$ gelten

Also gucke ich für welche Werte die beiden Gleichungen jeweils NUll werden.

Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} F_{1}= (1/ \frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{2}={0/0} \end{eqnarray*}$

Als nächstes habe ich die JacobiMatrix aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} J_{f}(x,y)= \begin{pmatrix} -(b+1)+2axy & ax^{2} \\ b-axy & -ax^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann habe ich jeweils nacheinader die Fixpunkte in die J.Matrix eingesetzt und auch die Werte von oben für a und b eingesetzt (die waren ja gegeben).

Für $\begin{eqnarray*} J_{f}(x,y)= (1/ \frac{b}{a}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} J_{f}(x,y)= (0/0) = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=-4 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin erstmal richtig so?

Danke im Voraus :-)

22.06.2018, 13:53

Pistazie

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RE: DGL-System 1.Ordnung
Hallo,

ich würde mich über ein Feedback sehr freuen. Ich kenne mich mit DGL-Systemen nicht so gut aus.

22.06.2018, 14:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pistazie
Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} F_{1}= (1/ \frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{2}={0/0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ stimmt, aber $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ist kein Fixpunkt, an der Stelle ist $\begin{eqnarray*} \dot{x}=1\neq 0 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Ebenfalls ein Fehler liegt in der Jacobi-Matrix vor, es ist $\begin{eqnarray*} J_{f}(x,y)= \begin{pmatrix} -(b+1)+2axy & ax^{2} \\ b-{\color{red}2}axy & -ax^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit dann

$\begin{eqnarray*} J_{f}\left(1,\frac{b}{a}\right) = \begin{pmatrix} b-1 & a \\ -b & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

22.06.2018, 16:21

Pistazie

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Hallo Hal,

danke für deine Hilfe.

Dann gibt es wohl keine weiteren Fixpunkte oder? Ich hatte es nochmal mit $\begin{eqnarray*} F_{2}= (\frac{1}{b+1}/ 0) \end{eqnarray*}$ versucht, dann ist die Bedingung für die 2. Gleichung wiederum nicht erfüllt.

Danke für den Hinweis in der J.Matrix. Ich komme dann auf Zahlen im komplexen Zahlenbereich. Ich hoffe ich habe es richtig gemacht.

Für $\begin{eqnarray*} J_{f}(x,y)= (1/ \frac{b}{a}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{1}{2}(1+ i*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=\frac{1}{2}(1-i*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

22.06.2018, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pistazie
Dann gibt es wohl keine weiteren Fixpunkte oder?

Richtig, es gibt keine weiteren. Das sieht man eigentlich sehr schnell, wenn man einfach beide Gleichungen addiert: Da steht dann $\begin{eqnarray*} 1-x=0 \end{eqnarray*}$ , womit alle in Frage kommenden Fixpunkte schon mal Komponente $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ beinhalten müssen. Wegen $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist dann aber auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt.

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