Freier Fall mathematisch

22.06.2018, 08:15

Dopap

Freier Fall mathematisch

eine "Punktmasse" erzeuge in Distanz 1 die Fallbeschleunigung 1.
Geschwindigkeit und Beschleunigung wachsen dabei über alle Grenzen.

gibt es für die endliche Fallzeit evtl. einen geschlossenen Ausdruck ?

22.06.2018, 09:11

HAL 9000

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Die entsprechende Gravitationsrechnung sagt $\begin{eqnarray*} T = \int\limits_0^1 \sqrt{\frac{x}{2(1-x)}} ~ \dd x = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Upps, Faktor 2 vergessen im Wurzelnenner - korrigiert.

22.06.2018, 09:27

Dopap

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genau!
An Pi konnte ich mich noch erinnern. Augenzwinkern

22.06.2018, 09:31

HAL 9000

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Die vollständige Herleitung: Sagen wir, die Punktmasse liegt im Nullpunkt, und der fallende Körper startet mit $\begin{eqnarray*} x(0)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \dot{x}(0)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \ddot{x}(0)=-1 \end{eqnarray*}$ .

Das Gravitationsgesetz sagt $\begin{eqnarray*} \ddot{x} \sim \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ , was zusammen mit der Beschleunigungs-Anfangsbedingung zur DGL $\begin{eqnarray*} \ddot{x} = -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ führt. Im weiteren ergibt das $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} (\dot{x})^2 = 2\dot{x}\ddot{x} = -\frac{2\dot{x}}{x^2} \end{eqnarray*}$ und nach einmaliger Integration $\begin{eqnarray*} \dot{x}^2 = \frac{2}{x}+C_1 \end{eqnarray*}$ . Anfangsgeschwindigkeit ist ja $\begin{eqnarray*} \dot{x}(0)=0 \end{eqnarray*}$ , das macht $\begin{eqnarray*} C_1=-2 \end{eqnarray*}$ , außerdem wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} \dot{x}(t)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ ist. Damit haben wir $\begin{eqnarray*} \dot{x} = -\sqrt{\frac{2(1-x)}{x}} \end{eqnarray*}$ und umgestellt $\begin{eqnarray*} \int\limits_{x(b)}^{x(a)} \sqrt{\frac{x}{2(1-x)}} ~ \dd x = \int\limits_a^b ~ \dd t = b-a \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(0)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x(T)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt das wie oben gesagt $\begin{eqnarray*} T = \int\limits_0^1 \sqrt{\frac{x}{2(1-x)}} ~ \dd x = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \end{eqnarray*}$ .

Zum Vergleich: Bei gleichbleibender Fallbeschleunigung -1 (also Ignorierung der wachsenden Gravitationskräfte bei Annäherung) wäre die Fallzeit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , und damit etwas größer - so sollte es ja auch sein.

22.06.2018, 11:02

Dopap

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habe zuerst nach "kinetische Energie = Potentialdifferenz" gesucht und dort dann fündig geworden:

Zitat:

Original von HAL 9000
[...]
und nach einmaliger Integration $\begin{eqnarray*} \dot{x}^2 = \frac{2}{x}+C_1 \end{eqnarray*}$ . Anfangsgeschwindigkeit ist ja $\begin{eqnarray*} \dot{x}(0)=0 \end{eqnarray*}$ , das macht $\begin{eqnarray*} C_1=-2 \end{eqnarray*}$ [...]

Zitat:

Zum Vergleich: Bei gleichbleibender Fallbeschleunigung -1 (also Ignorierung der wachsenden Gravitationskräfte bei Annäherung) wäre die Fallzeit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und diesen Fall im homogenen Schwerefeldes konnte ich sogar im Kopf rechnen Augenzwinkern

22.06.2018, 11:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
habe zuerst nach "kinetische Energie = Potentialdifferenz" gesucht

Ja, so geht's auch, da spart man sich die erste Integrationsstufe. Da aber hier ausdrücklich von der Anfangsbeschleunigung die Rede war, hab ich lieber auf der Stufe begonnen: Bei Start gleich auf Energiestufe wäre noch die Frage des passenden Normierungsparameters zu klären gewesen.

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