Gebiet überprüfen

22.06.2018, 14:55

forbin

Gebiet überprüfen

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an der Überprüfung auf Gebiete:
[attach]47537[/attach]

Nun muss ich also überprüfen, ob die Menge offen ist und ob je zwei Punkte durch einen Integrationsweg verbindbar sind.
Zu a) sind meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} G:=\mathbb C \backslash( (-\infty,0)\cup (0,\infty)) \end{eqnarray*}$ ist offen, denn: $\begin{eqnarray*} \forall z\in G\exists \delta >0 : D_{\delta}(z)\in G \end{eqnarray*}$

Zur Verbindung zweier Punkte:
Seien $\begin{eqnarray*} z_{1},z_{2}\in G \end{eqnarray*}$ .
Dann kann ich bilden: $\begin{eqnarray*} \gamma_{1}:\left[0,1\right]\rightarrow G , \gamma_{1}(t) = t\cdot z_{1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \gamma_{2}:\left[0,1\right]\rightarrow G , \gamma_{2}(t) = t\cdot z_{2} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \gamma_{1}\oplus\gamma_{2} = \gamma_{3} \end{eqnarray*}$ ein Integrationsweg zwischen je zwei Punkten, der durch den Ursprung geht (welcher ja in G enthalten ist).

Damit ist G ein Gebiet.

Ist das korrekt?

22.06.2018, 15:13

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RE: Gebiet überprüfen
Wie geht $\begin{eqnarray*} D_\delta (z)\subset G \end{eqnarray*}$ für z=0? verwirrt

22.06.2018, 15:16

forbin

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Oh, natürlich geschockt

Damit ist G kein Gebiet.

22.06.2018, 15:50

forbin

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Zu b)

$\begin{eqnarray*} G:=\{z\in\mathbb C : |exp(z)|>1 \} \end{eqnarray*}$ ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene, ohne die imaginäre Achse. Damit ist G offen.
Außerdem sind zwei Punkte $\begin{eqnarray*} z_{1}, z_{2} \end{eqnarray*}$ verbindbar durch $\begin{eqnarray*} \gamma:\left[0,1\right]\rightarrow G, \gamma(t) = t\cdot z_{1} + (1-t)\cdot z_{2} \end{eqnarray*}$

22.06.2018, 16:32

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Das stimmt.
Die Offenheitvon $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kann man auch so begründen: $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist das Urbild des offenen Intervalls $\begin{eqnarray*} (1,\infty ) \end{eqnarray*}$ unter der stetigen Abbildung $\begin{eqnarray*} z\mapsto |exp(z)| \end{eqnarray*}$

23.06.2018, 13:33

forbin

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Oh cool, danke für den Hinweis!

Zu c) habe ich leider keinen vernünftigen Ansatz hinbekommen verwirrt

Und bei d) würde ich sagen, die Menge, die ich "entferne", ist eine Spirale. Außerdem fehlt mir ja der Ursprung.
Dadurch kann ich zwei beliebige Punkte im Allgemeinen nicht verbinden.
Das klingt zwar sehr holprig, ich weiß, aber leider fallen mir auch dazu keine mathematischeren Worte ein.

23.06.2018, 16:19

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Ich gebe dir eine Hinweis zur c) Mit z gehört auch -z zu G. Jetzt kann man überlegen, was man über den Realteil eines Elementes z von G aussagen kann.

23.06.2018, 17:12

forbin

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Zitat:

Original von URL
Ich gebe dir eine Hinweis zur c) Mit z gehört auch -z zu G. Jetzt kann man überlegen, was man über den Realteil eines Elementes z von G aussagen kann.

Mit diesem Tipp sage ich:
Da -z ebenfalls in G liegt weiß ich, dass G punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Aber was du mit dem Realteil meinst, hat sich mir noch nicht erschlossen verwirrt

23.06.2018, 17:29

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Es gibt $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ , so dass für $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |Re(z)|>\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

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