Kongruenzen umschreiben

22.06.2018, 17:15	Casio101	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzen umschreiben Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe. ich habe folgende Kongruenzen: $\begin{eqnarray} x \equiv 1 mod 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 2 mod 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 3 mod 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 4 mod 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 5 mod 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 0 mod 7 \end{eqnarray}$ Die Kongruenzen mod 4 und mod 6 soll ich als eine Kongruenz mod 12 umschreiben. Meine Ideen: Ist das hier richtig? $\begin{eqnarray} 5x \equiv 19 mod 12 \end{eqnarray}$ Es geht in meiner Aufgabe um simultane Kongruenzen, kann ich mit dieser weiter rechnen oder darf dabei nicht 5x sondern nur x stehen? Danke für eure Hilfe.
22.06.2018, 17:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} x\equiv m-1\bmod m \end{eqnarray}$ folgt unmittelbar $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod m \end{eqnarray}$ . Damit kann man die ersten 5 Kongruenzen deines System umschreiben zu $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 6 \end{eqnarray}$ , was wegen $\begin{eqnarray} \operatorname{kgV}(2,3,4,5,6) = 60 \end{eqnarray}$ äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 60 \end{eqnarray}$ . Damit verbleiben nur zwei Kongruenzen $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 60 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray}$ . Laut Chinesischen Restsatz hat dieses System dann eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray} \bmod 420 \end{eqnarray}$ .
22.06.2018, 18:20	Casio101	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, aber in meiner Aufgabe ist explizit vorgegeben, dass ich das durch Umschreiben auf mod 12 machen soll...
22.06.2018, 18:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib eben nur $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv -1\bmod 6 \end{eqnarray}$ zu mod 12 um, wenn du das ganze partout komplizierter machen willst als nötig.
22.06.2018, 18:38	Casio101	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, so klappt es ja..Danke . Die Aufgabe will das so, nicht ich..aber jetzt müsste ich es hinkriegen.

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