Integral im RxR

22.06.2018, 18:45	Nymeria_xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral im RxR Meine Frage: Hallo, wir sollen folgendes Integral auf zwei verschiedene Arten berechnen: $\begin{eqnarray} \int_{D} \! x^{2}y \, d\lambda (x,y) \end{eqnarray}$ mit D= $\begin{eqnarray} \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^{2} :0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq y^{2}+1 \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe das Integral auf eine Art, nämlich auf folgende $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} y \left(\int_{y}^{y^{2}+1} \! x^{2} \, d\lambda x \right) \! \, d\lambda y \end{eqnarray}$ schon gelöst. Meine Frage lautet jetzt, wie ich das Integral noch auf eine andere Art berechnen kann? Irgendwie mit Vertauschung der Integrationsgrenzen? Danke!
23.06.2018, 07:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichnen wir zunächst mal das Integrationsgebiet: Wenn wir jetzt die Integrationsvariablen vertauschen, dann verläuft die äußere Integration über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , und zwar in den Grenzen von 0 bis 2. Jetzt müssen wir uns drum kümmern, welche Begrenzungen hinsichtlich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bei festem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gelten. Dazu formen wir die Doppelungleichung $\begin{eqnarray} y\leq x\leq y^2+1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ um: Der linke Teil liefert mit $\begin{eqnarray} y\leq x \end{eqnarray}$ eine obere Schranke, zudem ist aber $\begin{eqnarray} y\leq 1 \end{eqnarray}$ aus Original-Gebietsbeschreibung zu beachten. Der rechte Teil liefert $\begin{eqnarray} x-1\leq y^2 \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} x\leq 1 \end{eqnarray}$ automatisch erfüllt ist und für $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \sqrt{x-1}\leq \|y\| \end{eqnarray}$ mündet, was angesichts $\begin{eqnarray} y\geq 0 \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \sqrt{x-1}\leq y \end{eqnarray}$ ist. All das zusammengefasst ergibt sich beschreibungsmäßig eine Zweiteilung des Gebiets: $\begin{eqnarray} D = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2:\; 0\leq x \leq 1,\, 0\leq y\leq x \right\} \cup \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2:\; 1\leq x \leq 2,\, \sqrt{x-1}\leq y\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ . Man könnte es auch zusammenfassend schreiben als $\begin{eqnarray} D = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2:\; 0\leq x \leq 2,\, \sqrt{\max(0,x-1)}\leq y\leq \min(x,1) \right\} \end{eqnarray}$ , allerdings bringt das nicht viel für die nachfolgenden Integration, für die wir dann also doch besser wieder die erste Variante benutzen: $\begin{eqnarray} \int\limits_0^1 \int\limits_0^x x^2y ~ \dd y ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^2 \int\limits_{\sqrt{x-1}}^1 x^2y ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray}$ . EDIT: Vergessenen Faktor y im Integranden ergänzt - Danke an Leopold für den Hinweis.
23.06.2018, 10:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ HAL Kleines Versehen: der Integrand ist $\begin{align} x^2y \end{align}$ .
23.06.2018, 10:46	Nymeria_xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow! vielen, vielen Dank für die ausführliche Hilfestellung! Ich konnte die Aufgabe damit problemlos lösen, vielen Dank!

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