Gleichung in Modulo lösen

23.06.2018, 12:05

dirk531

Gleichung in Modulo lösen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} f=x^2 +x +34 \equiv 0 mod 3^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \in \mathbb{Z} [x] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit Henselliftung muss ich nun ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{Z} , f(c)\equiv 0 && mod p^n \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} p !|f'(c) \Rightarrow f(c_0)\equiv 0 mod p^{n+1} \end{eqnarray*}$

(das soll p teilt nicht f'(c) heißen)

Wie finde ich so ein c?

24.06.2018, 18:11

Elvis

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mod 3,9,27 ist eine Lösung leicht zu finden. Wenn du (auch) keine Lösung von 0 bis 80 mod 81 findest, ist die Aufgabe nicht lösbar.

Anmerkung: Jede einfache Nullstelle von f mod p lässt sich eindeutig zu einer Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ , d.h. mod $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ liften. 1 mod 3 ist aber hier eine doppelte Nullstelle.
( www.crypto.rub.de/imperia/md/content/may...3/25_hensel.pdf )

25.06.2018, 11:50

HAL 9000

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Von Henselliftung und dergleichen habe ich als Algebra-Laie keine Ahnung, aber das hier

Zitat:

Original von Elvis
Wenn du (auch) keine Lösung von 0 bis 80 mod 81 findest, ist die Aufgabe nicht lösbar.

ist doch eine recht klare Ansage bzw. Wink mit dem Zaunpfahl. Und mit der äquivalenten Umformung von $\begin{eqnarray*} x^2+x+34 \equiv 0\bmod 81 \end{eqnarray*}$ durch quadratische Ergänzung in $\begin{eqnarray*} (2x+1)^2 \equiv 27\bmod 81 \end{eqnarray*}$ auch recht einfach beantwortbar.

28.06.2018, 14:43

dirk531

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Wenn du (auch) keine Lösung von 0 bis 80 mod 81 findest, ist die Aufgabe nicht lösbar.

Diese Folgerung verstehe ich leider nicht.

28.06.2018, 16:19

HAL 9000

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Gibt es überhaupt eine Lösung für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ , d.h. modulo 81?

Falls nicht, dann gibt es logischerweise auch keine Lösungen für alle $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ .

Das "auch" bezieht sich womöglich darauf, dass Elvis keine gefunden hat (oder sagen wir besser gefunden hat, dass es keine gibt Augenzwinkern

). Ich übrigens auch nicht, und meine Umformung zu $\begin{eqnarray*} (2x+1)^2 \equiv 27\bmod 81 \end{eqnarray*}$ zeigt auch in aller Kürze, dass es tatsächlich keine gibt:

Die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} (2x+1)^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 3^3=27 \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} 2x+1\equiv 0\bmod 9 \end{eqnarray*}$ , das aber wiederum $\begin{eqnarray*} (2x+1)^2 \equiv 0\bmod 81 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

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