Polstelle der Funktion sin(z) / ( (cos(z^3)-1)

23.06.2018, 18:09

forbin

Polstelle der Funktion sin(z) / ( (cos(z^3)-1)

Hallo nochmal,

ich sitze gerade an:
[attach]47548[/attach]

Ich habe also gebildet:
$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{6k}}{(2k)!}-1} \Rightarrow f(0) = \frac{\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{0^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{0^{6k}}{(2k)!}} \end{eqnarray*}$

Das wollte ich nun mit $\begin{eqnarray*} (z-0)^{5} \end{eqnarray*}$ multiplizeren, aber ich erkenne nicht, wie ich dann geeignet kürzen kann.

Stehe ich auf dem Schlauch? Habe ich überhaupt den richtigen Ansatz?

23.06.2018, 19:50

Leopold

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Zur Berechnung von Residuen ist es oft günstiger, nicht mit den ganzen Reihen zu rechnen, sondern nur mit begrenzten Entwicklungen. Schließlich sucht man ja nur einen einzigen Koeffizienten.

$\begin{align*} \frac{\sin z}{\cos \left( z^3 \right) - 1} = \frac{z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} \mp \ldots}{- \frac{z^6}{2} + \frac{z^{12}}{24} \mp \ldots} = \frac{1}{z^5} \cdot g(z) \ \ \text{mit} \ \ g(z) = \frac{1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} \mp \ldots}{- \frac{1}{2} + \frac{z^6}{24} \mp \ldots} \end{align*}$

In der Potenzreihenentwicklung des in 0 holomorphen $\begin{align*} g(z) \end{align*}$ braucht man den Koeffizienten von $\begin{align*} z^4 \end{align*}$ . Da $\begin{align*} g(z) \end{align*}$ gerade ist, kann man sich auf gerade Exponenten beschränken und den Ansatz

$\begin{align*} g(z) = a + bz^2 + cz^4 + \ldots \end{align*}$

wählen. Jetzt führt man in

$\begin{align*} 1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} \mp \ldots = \left( a + bz^2 + cz^4 + \ldots \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{z^6}{24} \mp \ldots \right) \end{align*}$

einen Koeffizientenvergleich durch. Ein Glied $\begin{align*} z^4 \end{align*}$ kann im Reihenprodukt rechts offenbar nur entstehen, wenn $\begin{align*} cz^4 \end{align*}$ aus der ersten Klammer auf $\begin{align*} - \frac{1}{2} \end{align*}$ aus der zweiten Klammer trifft.

25.06.2018, 21:52

forbin

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Danke für die Antwort, Leopold.
Ich verstehe zwar die einzelnen Schritte, aber den Zusammenhang zur Aufgabe sehe ich nicht.
Aber ich glaube das liegt daran, dass in der Aufgabenstellung bereits die Ordnung des Poles vorgegeben ist. Das sieht dann für mich so aus, als wäre das vom Himmel gefallen.
Hätte ich das selber rauskriegen sollen, hätte sich mir mehr erschlossen. Aber man wächst ja bekanntlich mit seinen Aufgaben.

Was aber meinst du mit:

Zitat:

Ein Glied $\begin{eqnarray*} z^{4} \end{eqnarray*}$ kann im Reihenprodukt rechts offenbar nur entstehen, wenn $\begin{eqnarray*} cz^{4} \end{eqnarray*}$ aus der ersten Klammer auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus der zweiten Klammer trifft.

?

Wenn ich ausmulziplizere, treffen die beiden ja eh aufeinander.

Jedenfalls ergibt der Vergleich:
a= -2
$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = -\frac{1}{60} \end{eqnarray*}$ (das gesuchte Residuum)

25.06.2018, 23:15

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
Danke für die Antwort, Leopold.
Ich verstehe zwar die einzelnen Schritte, aber den Zusammenhang zur Aufgabe sehe ich nicht.

Das verstehe ich nicht. Du willst doch das Residuum bestimmen. Also brauchst du den Koeffizienten von $\begin{align*} z^{-1} \end{align*}$ in der Laurententwicklung. Da $\begin{align*} \frac{1}{z^5} \end{align*}$ ausgeklammert ist, interessiert nur der Koeffizient von $\begin{align*} z^4 \end{align*}$ in der Potenzreihe von $\begin{align*} g(z) \end{align*}$ :

$\begin{align*} \frac{1}{z^5} \cdot \left( \ldots + cz^4 + \ldots \right) = \ldots + \frac{c}{z} + \ldots \end{align*}$

Und um diesen Koeffizienten zu bestimmen, wird die Bruchdarstellung $\begin{align*} \frac{Z}{N} = g \end{align*}$ in eine Produktdarstellung gebracht:

$\begin{align*} Z = g \cdot N \end{align*}$

Zitat:

Original von forbin
Was aber meinst du mit:

Zitat:

?

Wenn ich ausmulziplizere, treffen die beiden ja eh aufeinander.

Nun, unter anderen Umständen ist das durchaus komplizierter:

$\begin{align*} \left( A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + Ez^4 + \ldots \right) \cdot \left( P + Qz + Rz^2 + Sz^3 + Tz^4 + \ldots \right) \end{align*}$

Zu $\begin{align*} z^4 \end{align*}$ tragen hier bei: $\begin{align*} A \cdot Tz^4 + Bz \cdot Sz^3 + Cz^2 \cdot Rz^2 + Dz^3 \cdot Qz + Ez^4 \cdot P \end{align*}$

Du hast sozusagen das Glück, daß die zweite Reihe in Potenzen von $\begin{align*} z^6 \end{align*}$ fortschreitet.

26.06.2018, 00:39

forbin

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von forbin
Danke für die Antwort, Leopold.
Ich verstehe zwar die einzelnen Schritte, aber den Zusammenhang zur Aufgabe sehe ich nicht.

Das verstehe ich nicht. Du willst doch das Residuum bestimmen. Also brauchst du den Koeffizienten von $\begin{align*} z^{-1} \end{align*}$ in der Laurententwicklung.

Oh Mann, natürlich Hammer

Das war wirklich das Stichwort, mit dem ich auf Anhieb verstanden habe worum es geht.
Morgen rechne ich das nochmal in Ruhe durch, aber das hier hat mir sehr geholfen.

Danke !!

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