System aus Normalengleichungen bilden

24.06.2018, 12:19	tasel	Auf diesen Beitrag antworten »
System aus Normalengleichungen bilden Meine Frage: Die folgende Gleichung soll minimiert werden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{t=-2}^{2} (x_{t}-b_{1}-b_{2}t-b_{3} t^{2})^{2} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{t=-2}^{2} t= \sum\limits_{t=-2}^{2} t^{3} =0 \end{eqnarray}$ reduziert sich das System der Normalengleichungen hier zu $\begin{eqnarray} 5b_{1} +10b_{3}=\sum\limits_{t=-2}^{2} x_{t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10b_{2} =\sum\limits_{t=-2}^{2} tx_{t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10b_{1} +34b_{3}=\sum\limits_{t=-2}^{2} t^{2}x_{t} \end{eqnarray}$ (Aus Zeitreihenanalyse von Schlittgen, Streitberg, 9. Auflage, Bsp 1.5.2.3) Meine Ideen: Mir ist nicht klar, wie man hier auf das System der Normalengleichung kommt. Mein Grundgedanke war abzuleiten und dann Null zu setzen. Zuerst habe ich die Summe ausgerechnet: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{t=-1}^{2} x_{t}^{2})-2b_{1}(\sum\limits_{t=-1}^{2} x_{t})-20b_{3}(\sum\limits_{t=-1}^{2} x_{t})+10b_{2}^{2}+20b_{1}b_{3}+34b_{3}^{2} \end{eqnarray}$ Das habe ich dann jeweils nach den drei b's partiell abgeleitet und kam auf: $\begin{eqnarray} \frac{d}{db_{1}} = -2(\sum\limits_{t=-2}^{2}x_{t} )+b_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{db_{2}} = 20b_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{db_{3}} = -20(\sum\limits_{t=-2}^{2}x_{t} )+20b_{1}+68b_{3} \end{eqnarray}$ und dann wusste ich absout nicht mehr weiter. Idee war das dann irgendwie zu verrechnen um eventuell auf die drei Gleichungen zu kommen aber da sind dann noch die t Faktoren drin die bei mir so gar nicht auftauchen. Ist dann mein Ansatz komplett falsch oder hab ich mich nur verrechnet. Ich sehe keinen Weg auf das System aus Normalgleichungen, wie oben beschrieben zu kommen
24.06.2018, 13:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: System aus Normalengleichungen bilden Dein Grundgedanke ist richtig, das Ausrechnen der Summe unnötig (ich habe es nicht nachgerechnet) und wie du daraus auf die Ableitung nach b_1 kommst, ist mir auch nicht klar. Es geht einfach direkt mit der Kettenregel $\begin{eqnarray} 0=\frac{dS}{db_1}=\sum_{t=-2}^2 2(x_t-b_1-b_2t-b_3t^2)(-1) \end{eqnarray}$ und das iiefert die erste der angegebenen Gleichungen.
24.06.2018, 13:50	tasel	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte man eine Ableitung auch einfach mit den bekannten Regeln berechnen Vielen Dank für die Antwort, habe es auch mit den anderen beiden Gleichungen ausprobiert und so funktioniert es.

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