residuensatz bsp

25.06.2018, 17:24	mandl	Auf diesen Beitrag antworten »
residuensatz bsp Hallo habe ein bsp durchgerechnet habe aber leider keine lösung und weiß nicht ob ich wo fehler gemacht habe. wäre nett wenn da jemand drüber schauen könnte. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2+\cos(x) } \, dx \end{eqnarray}$ danach habe ich substituiert mit: $\begin{eqnarray} \cos(x) =\frac{e^{ix}+e^{-ix} }{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{ix}=z ; \frac{dz}{dx}=iz ; \frac{dz}{iz}=dx \end{eqnarray}$ somit habe ich folgendes integral erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{i} \int_{0}^{2\pi} \!\frac{1}{z} \frac{1}{2+\frac{z+z^{-1} }{2} } \, dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{i} \int_{0}^{2\pi } \! \frac{2}{z^2+4z+1} \, dz \end{eqnarray}$ jetzt habe ich die polstellen berechnet dabei erhalte ich: $\begin{eqnarray} z_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{12} }{2} \end{eqnarray}$ Beim berechnen des residium verwende ich nur z1 da dieser in dem einheitskreis liegt. $\begin{eqnarray} \lim_{z \to z1} (z-(\frac{-4+ \sqrt{12} }{2}))\frac{2}{(z-(\frac{-4+ \sqrt{12} }{2}))(z-(\frac{-4- \sqrt{12} }{2}))} \end{eqnarray}$ somit erhalte ich: $\begin{eqnarray} \lim_{z \to z1} \frac{2}{2z+4+\sqrt{12} } \end{eqnarray}$ und somit erhalte ich für mein residium: $\begin{eqnarray} \frac{2}{i\sqrt{12} } \end{eqnarray}$ das i kommt von der Substitution welches vor dem integral steht. und somit erhalte ich für die komplette lösung: $\begin{eqnarray} 2\pi i\sum Res = \pi \frac{4}{\sqrt{12} } \end{eqnarray*}$ jetzt meine frage stimmt mein vorgehen beim berechnen? würde mich sehr über konstruktive Kritik freuen.
26.06.2018, 15:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt im wesentlichen. Ein paar kleinere formale Unsauberkeiten: Sobald du über eine komplexe Variable $\begin{align} z \end{align}$ integrierst, integrierst du nicht mehr über ein Intervall, sondern über den Einheitskreis als Kurve. Entscheide dich, von welcher Funktion du das Residuum bestimmst, ob mit oder ohne den Faktor $\begin{align} \frac{1}{\operatorname{i}} \end{align}$ . Laß das $\begin{align} \frac{1}{\operatorname{i}} \end{align}$ vor dem Integral, dann hat es beim Residuum nichts zu suchen. Oder ziehe es zum Integranden, dann ist es bei der Residuumbestimmung immer mit dabei. Du bist da etwas inkonsequent und mogelst den Faktor am Schluß dazu. Wozu? Nun ja, $\begin{align} \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \end{align}$ - sicher, nur eine Frage der Ästhetik!
26.06.2018, 15:55	mandl	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ja das sind meine schlampigkeitsfehler... ich arbeite daran aber danke fürs korregieren

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