Kurvendiskussion Trigonometrie

25.06.2018, 19:23

jaaaa

Kurvendiskussion Trigonometrie

Meine Frage:
Hallo zusammen,

könnte mir jemand beim Kurvendiskussion helfen?

f(x) = $\begin{eqnarray*} 2\cos(\pi x) + \sin(2 \pi x) \end{eqnarray*}$
Länge der Periode ist a=2

Meine Ideen:
Ich kann ja das alles als f(x) = $\begin{eqnarray*} 2\cos(\pi x) + 2 \sin(\pi x) \cos(\pi x) = 2 \cos(\pi x)\left(1+\sin(\pi x) \right) \end{eqnarray*}$ aufschreiben, richtig? (nach additionstheorem)

Muss dann Nullstellen finden: $\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cos(\pi x) \left(1 + \sin(\pi x) \right) | :2\cos(\pi x)<br /> <br /> 0 = 1 + \sin(\pi x)<br /> -1 = \sin(\pi x) \end{eqnarray*}$
Ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist und wie ich weiter gehen soll..

Und für Extrempunkte wenn ich das ableite f'(x) = $\begin{eqnarray*} -2 \sin(\pi x) + 2\cos(\pi x) \cos(\pi x) - \sin(\pi x) 2\sin(\pi x) \end{eqnarray*}$
wäre das so richtig?

25.06.2018, 21:20

mYthos

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Du hast durch $\begin{eqnarray*} 2 \cos \pi x \end{eqnarray*}$ dividiert! Bedenke, dass auch dieser Faktor Null werden kann!
Ansonsten gehen dir Lösungen verloren.
--------------

$\begin{eqnarray*} \sin \pi x=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi x = \arcsin (-1) + 2k\pi; k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Nun dividiere durch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .., geht's jetzt?
--------------

Zur Ableitung nimm besser wieder den (nicht umgeformten) Originalterm:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 \pi (-\sin \pi x + \cos 2 \pi x) \end{eqnarray*}$

mY+

26.06.2018, 01:10

jaaaa

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Danke sehr für Deine Hilfe.

wenn ich durch Pi dividiere, bekomme x = $\begin{eqnarray*} \frac{arcsin(-1)}{\pi } + 2k \end{eqnarray*}$
0 = $\begin{eqnarray*} \frac{arcsin(-1)}{\pi } + 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{arcsin(-1)}{\pi } = 2k \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich Nullstellen im Interval [0,a], wenn länge der Periode a= 2 ist, bekommen ? Hammer

Und damit ich kritischen Punkte im interval [0,a] bekomme, das ist, ja, Extrempunkte? wenn f'(x) = 0 und f''(x) ungleich 0 ist, bekomme extrempunkte. f''(x) = $\begin{eqnarray*} 2\pi \pi \left(\cos(\pi x) - 2\sin(2\pi x) \right) \end{eqnarray*}$ anstatt x soll ich ja jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{arcsin(-1)}{\pi } +2k \end{eqnarray*}$ einsetzen, richtig? Aber komme nicht weiter, wie man es einsetzen und berechnen kann unglücklich

26.06.2018, 15:39

mYthos

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Die Periodenlänge der gegebenen (kompletten, zusammengesetzten) Funktion brauchst du zur Lösung der Gleichung NICHT bestimmen (sie ist ausserdem ohnehin gegeben).
Nach Umstellung und Vereinfachung bekommst du ja immer eine einzelne trigonometrische Funktion (sin, cos oder tan) und nur deren Periodenlängen sind vom Belang.
Die Periodenlänge der Lösung hängt davon ab, welche Faktoren dort noch im Argument stecken.

Die Kenntnis der Periodendauer der gegebenen Funktion hilft allerdings insoferne, dass Lösungen nur innerhlb dieses Intervalls zu bestimmen sind.
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Du hättest auch schon längst arcsin(-1) bestimmen sollen (!) und NICHT auf 0 bringen (weshalb verschwindet dann bei dir das x?), denn dann wird die (erste) Gleichung zu

$\begin{eqnarray*} \pi x = \frac{3 \pi} 2 + 2k \pi \end{eqnarray*}$

und nach der Division

$\begin{eqnarray*} x = \frac 3 2 + 2k \end{eqnarray*}$

und du kannst dich schon über die erste Lösung freuen.
Und WO hast du die anderen Lösungen, die noch durch das Abspalten des Faktors $\begin{eqnarray*} 2 \cos(\pi x) \end{eqnarray*}$ entstehen? Diesen Faktor musst du 0 setzen, wie ich dir schon geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} \cos \pi x = 0 \end{eqnarray*}$

HIER musst du einrechnen, dass die Nullstellen des $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ im Abstand $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auftreten, obwohl sonst die cos-Funktion $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ - periodisch ist. Also

$\begin{eqnarray*} \pi x = \frac{\pi} 2 + k \pi \end{eqnarray*}$ (!)

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$
--------------------------

So, und nun zu den Extrempunkten. Diese haben mit den vorhin berechneten Nullstellen absolut nichts zu tun, also wirst du dort auch NICHT die dort berechneten x-Werte einsetzen.
Zuerst berechnest du also die erste Ableitung und setzst diese Null. Und DIESE Lösungen sind dann (zur Bestimmung der Art des Extremums) in die 2. Ableitung einzusetzen!

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 \pi (-\sin \pi x + \cos 2\pi x) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen bezeichnen nun nicht alles Extrempunkte, es gibt dabei auch noch Wendepunkte mit horizontalen Tangenten (Terrassenpunkte).

mY+

27.06.2018, 23:17

jaaaa

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Danke sehr für deine ausführliche Erklärung,

Zitat:

Du hättest auch schon längst arcsin(-1) bestimmen sollen (!) und NICHT auf 0 bringen (weshalb verschwindet dann bei dir das x?), denn dann wird die (erste) Gleichung zu Àx=3À2+2kÀ und nach der Division x=32+2k

ist das hier nicht $\begin{eqnarray*} \pi x = -\frac{\pi }{2} + \pi k \end{eqnarray*}$ da arcsin(-1) = -Pi/2 ist? Damit wäre erste Nullstelle -1/2

Wenn ich cos(pi*x) = 0 rechne bekomme 2.Nullstelle 1/2.

__________

und zu dem extrempunkten

f''(x) = $\begin{eqnarray*} 2\pi \pi \left(\cos(\pi x)-2\sin(2\pi x) \right) \end{eqnarray*}$

wenn ich 1.Ableitung auf Null setze und umforme , bekomme $\begin{eqnarray*} \sin(2x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ . Wäre so richtig? Hammer

Oh Gott meine Mathematik, sorry, dass ich so viele Fragen stelle. Hammer

01.07.2018, 15:04

mYthos

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Du kannst natürlich auch mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$ beginnen, aber üblich ist es, erst im positiven Bereich des Arguments anzufangen.
Da k aus dem Ganzzahlbereich stammt, kommst du z.B. mit k = -1 ebenso auf -1/2
---------

cos(pi*x) = 0 liefert mehr Nullstellen), nämlich 1/2 + k (!)
---------

Die Gleichung für die Extremstellen stimmt bei dir nicht.

Sie lautet nämlich $\begin{eqnarray*} \cos 2\pi x - \sin \pi x = 0 \end{eqnarray*}$
Dabei ist der cos des doppelten Argumentes mittels Summensatz in Funktionen der einfachen Argumente umzuwandeln:

$\begin{eqnarray*} \cos 2y = \cos^2 y - \sin^2 y = 1 - 2 \sin^2y \end{eqnarray*}$

Somit entsteht die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 \pi x + \sin \pi x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Eventuell versteht man dies besser, wenn man $\begin{eqnarray*} \sin \pi x = u \end{eqnarray*}$ substituiert:

$\begin{eqnarray*} 2u^2 + u -1 = 0 \end{eqnarray*}$

Löse diese quadratische Gleichung nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und setze wieder in die Substitution ein ..

Hinweise:
-----------
Ein Teil der Lösungen liefert KEINE Extremstellen, sondern Wendepunkte mit horizontaler Tangente (Terrassen- od. Sattelpunkte), sh. auch den Graph!

$\begin{eqnarray*} \arcsin \frac 1 2 = \frac{\pi} 6 \end{eqnarray*}$ UND auch $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi} 6 \end{eqnarray*}$ , jeweils $\begin{eqnarray*} +2k \pi \end{eqnarray*}$

-----

Ich war einige Tage off, deshalb die etwas verspätete Antwort.

Gr mY+

04.07.2018, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Die Gleichung für die Extremstellen stimmt bei dir nicht.

Sie lautet nämlich $\begin{eqnarray*} \cos 2\pi x - \sin \pi x = 0 \end{eqnarray*}$
Dabei ist der cos des doppelten Argumentes mittels Summensatz in Funktionen der einfachen Argumente umzuwandeln

Alternativ kann man auch so vorgehen: Es gilt

$\begin{eqnarray*} \cos(u)=\cos(v) \;\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z},s\in\{-1,+1\}:\; v = su +2k\pi\qquad (*) \end{eqnarray*}$

gemäß Periodizitäts- und Symmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion. Die vorliegende Gleichung wandeln wir in diese Struktur um: $\begin{eqnarray*} \cos(2\pi x) = \sin(\pi x) = \cos\left( \pi x - \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Gemäß (*) bedeutet dies, dass ein ganzes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ existiert mit entweder $\begin{eqnarray*} 2\pi x = \pi x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2\pi x = -\pi x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{eqnarray*}$ . Beide nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umgeformt ergibt sich $\begin{eqnarray*} x = \frac{4k-1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = \frac{4k+1}{6} \end{eqnarray*}$ . Dabei stellt sich raus, dass letztere Lösungsschar die erstere komplett umfasst, man betrachte dazu speziell $\begin{eqnarray*} k=3k'-1 \end{eqnarray*}$ . Aber wie mYthos richtig feststellte, sind das erstmal nur die kritischen Punkte, die nicht alle auch Extremstellen sind.

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