Differentialgleichung Höherer Ordnung

25.06.2018, 22:52

Lauraundlisa1

Differentialgleichung Höherer Ordnung

Hallo alle zusammen. Ich habe eine Differentialgleichungen höherer Ordnung und würde diese gerne lösen mit eurer Hilfe.

So wir haben folgenden Fall:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} a_iy^{(i)} =sinh(x) \end{eqnarray*}$

Folgender Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y= x^k( A* cosh(x)+B*sinh(x) ) \end{eqnarray*}$

da kein Resonanzfall vorliegt entfällt x^k und es bleibt

$\begin{eqnarray*} y= ( A* cosh(x)+B*sinh(x) ) \end{eqnarray*}$ übrig.

Nun folgender Fall für ungerade (i) ist die Ableitung stets

$\begin{eqnarray*} y= ( A* sinh(x)+B*cosh(x) ) \end{eqnarray*}$

Und für ungeraden (i) gilt wieder

$\begin{eqnarray*} y= ( A* cosh(x)+B*sinh(x) ) \end{eqnarray*}$ .

das bedeutet also:

$\begin{eqnarray*} a_{0} ( A*cosh(x)+B*sinh(x) )+ a_{1}*( A*sinh(x)+B*cosh(x))= sinh(x) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} A* ( a_{0} *cosh(x)+a_{1} *sinh(x) )+ B*( a_{0} *sinh(x)+a_{1} *cosh(x))= sinh(x) \end{eqnarray*}$

Ist dieser weg so in ordnung oder führt das in die falsche Richtung?

25.06.2018, 23:10

HAL 9000

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Prinzipiell in Ordnung. Technisch gesehen (d.h. im Aufschrieb) sollte man natürlich die Summe in zwei Teilsummen aufspalten, solche mit geraden sowie ungeraden Indizes.

25.06.2018, 23:19

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal! Freut mich das du schreibst smile

Ja da gebe ich dir natürlich Recht.

Im Prinzip würde es ja dann so weiter gehen:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{sinh(x)}{a_{0} *cosh(x)+a_{1} *sinh(x)} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} B= \frac{sinh(x)}{a_{1} *cosh(x)+a_{0} *sinh(x)} \end{eqnarray*}$

Und zu guter letzt A und B in y=.... (Ansatz)
einsetzen. Das wärs dann schon oder ?

26.06.2018, 07:56

HAL 9000

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Nein, so geht es nicht weiter: Du hast hier

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
$\begin{eqnarray*} a_{0} ( A*cosh(x)+B*sinh(x) )+ a_{1}*( A*sinh(x)+B*cosh(x))= sinh(x) \end{eqnarray*}$

eine Gleichung dastehen, die für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten soll, und dabei sind $\begin{eqnarray*} a_0,a_1 \end{eqnarray*}$ bekannte sowie $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gesuchte Konstanten - das bedeutet Koeffizientenvergleich. Dazu gruppiert man alles um als Faktoren zu $\begin{eqnarray*} \cosh(x),\sinh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a_0A+a_1B)\cosh(x) + (a_1A+a_0B-1)\sinh(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

die dann jeweils Null werden müssen

$\begin{eqnarray*} a_0A+a_1B &=& 0\\ a_1A+a_0B &=& 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ dieses linearen Gleichungssystems ist das, was hier gesucht ist.

26.06.2018, 09:56

Lauraundlisa1

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Ah jetzt verstehe ich Big Laugh

Die Lösung des LGS wäre dann:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{-a_{1} }{a_{0}^2-a_{1}^2 } \end{eqnarray*}$

Und B= $\begin{eqnarray*} \frac{a_{0} }{a_{0}^2-a_{1}^2 } \end{eqnarray*}$

Mit nenner ungleich 0

26.06.2018, 11:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Mit nenner ungleich 0

Was übrigens durch die Voraussetzung "kein Resonanzfall" gewährleistet ist.

26.06.2018, 17:26

Lauraundlisa1

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Warum denn das ?
Was bedeutet denn genau Resonanzfall?

26.06.2018, 17:54

HAL 9000

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Ich hatte angenommen, dass die Terminologie bekannt ist, wenn du solche Aufgaben zu bearbeiten hast...

Man spricht bei einer solchen inhomogenen linearen DGL von "Resonanz", wenn die Störfunktion selbst eine Lösung der zugehörigen homogenen DGL ist. (Der Begriff ist stammt von einem Anwendungsfall derartiger DGL in der Physik, näher will ich da jetzt nicht ins Detail gehen):

Ist beispielsweise $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=1 \end{eqnarray*}$ , so lautet die DGL $\begin{eqnarray*} y+y' = \sinh(x) = \frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ . Nun ist zwar nicht $\begin{eqnarray*} y=\sinh(x) \end{eqnarray*}$ , wohl aber der Anteil $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$ Lösung der zugehörigen homogenen DGL $\begin{eqnarray*} y+y'=0 \end{eqnarray*}$ , der Anteil befindet sich also in Resonanz.

26.06.2018, 19:03

Lauraundlisa1

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Achso okay danke smile

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