Auflösbarkeit Bsp

27.06.2018, 13:20	mandl	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösbarkeit Bsp Hallo, habe ein Problem mit eine Bsp bzw ein verständnisproblem allgemein mit bsp dieser art. Bsp: Durch die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} x=y^2z ; xy^3=z \end{eqnarray}$ sind in impliziter weise 2 Flächen im R3 definiert. Diese haben eine gemeinsame Schnittkurve die durch den Punkt (0,0,0) verläuft. Entscheiden Sie ob für diese Kurve eine Parameterdarstellung in einer Umgebung von (0,0,0) existiert und zwar mit x, y oder z als Kurvenparameter. Beantworten sie diese Frage ohne eine solche Parameterdarstelung explizitt zu berechnen. Geben sie auch den Tangentialvektor an diese Kurve an der Stelle (0,0,0) an. also mein vorgehen wäre wie folgt: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x-y^2z \\ xy^3-z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun habe ich versucht über den Hauptsatz über implizite Funktionen in n Variablen meine 3 Punkte zu zeigen dass es auflösbar ist. 1) $\begin{eqnarray} f(0,0,0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dieser Punkt stimmt. 2) alle partiellen Ableitungen sind in einer Umgebung von (0,0,0) stetig. (ich habe kein partielles ableitungssymbol im formeleditor gefunden habe jetzt die normale Ableitung verwendet. sie steht für die partielle.) $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx} =\begin{pmatrix} 1 \\ y^3 \end{pmatrix} ;\frac{df}{dy} =\begin{pmatrix} -2yx \\ 3xy^2 \end{pmatrix} ; \frac{df}{dz} =\begin{pmatrix} -y^2\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch der 2 punkt stimmt überein. 3) $\begin{eqnarray} \frac{df}{dy}(0,0,0) \neq 0 \end{eqnarray}$ so steht es in meinem buch da ich aber nach x y oder z auflösen möchte habe ich alle 3 berechnet und erhalte somit. $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ;\frac{df}{dy} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} ; \frac{df}{dz} =\begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißt das jetzt ich kann nach x und z auflösen (also parametrisieren) aber nicht nach y? b habe ich nocht nicht gerechnet da ich zuerst das hier verstehen möchte.

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