f normal wenn selbstadjungierte End. kommutieren

27.06.2018, 19:23	Sackie	Auf diesen Beitrag antworten »
f normal wenn selbstadjungierte End. kommutieren Meine Frage: Wir betrachten einen unitären Vektorraum V und einen Endomorphismus f aus Endc(V ). Zeigen Sie, dass (a) eindeutig bestimmte selbstadjungierte Endomorphismen f1, f2 aus EndC(V ) existieren mit f = f1 + if2 . (b) f genau dann normal ist, wenn f1 und f2 kommutieren. Meine Ideen: Wie zeigt man das ? Danke im Voraus.
27.06.2018, 19:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, versuch's einmal mit $\begin{eqnarray} f_1 = \frac12 (f+f^\ast) \end{eqnarray}$ . Wie $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ dann aussehen muss, kannst du dir selbst überlegen.
27.06.2018, 19:52	Sackie	Auf diesen Beitrag antworten »
versuch's einmal mit $\begin{eqnarray} f_1 = \frac12 (f+f^\ast) \end{eqnarray}$ . Wie meinst das??
27.06.2018, 20:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn daran unklar? Du sollst (unter anderem) zeigen, dass es selbstadjungierte Endomorphismen $\begin{eqnarray} f_1,f_2 \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} f = f_1+if_2 \end{eqnarray}$ . Ich habe dir einen Tipp gegeben, wie $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ aussehen sollte. Damit kannst du durch Umstellen auch $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ berechnen. Einfach loslegen.
27.06.2018, 20:39	Sackie	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist einfach unklar, wo hast du f1 genommen?
27.06.2018, 20:45	Sackie	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{2} = \frac{1}{2i} \left(f+f^{} \right) \end{eqnarray*}$ Stimmt so?
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27.06.2018, 20:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit - statt + stimmt das. Hast du gezeigt, dass die beide selbstadjungiert sind? Das kommt davon, dass ich weiß, was herauskommen soll. Als ich mir das das erste Mal überlegt habe, hab ich halt herumprobiert und dann gesehen, dass das im Prinzip ein Analogon zur Darstellung einer komplexen Zahl durch Real- und Imaginärteil ist. Dann muss man nur noch überlegen, wie man den Realteil bestimmt und das übertragen.
27.06.2018, 21:13	Sackie	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) eindeutig bestimmte selbstadjungierte Endomorphismen $\begin{eqnarray} f_{R} , f_{I} \in Endc(V ) \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} f = f_{R} + if_{I} \end{eqnarray}$ PS Hab die Aufgabenstellung falsch geschrieben

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