Basis bestimmen von Kern und Bild

28.06.2018, 19:14

Snexx_Math

Basis bestimmen von Kern und Bild

Hallo zusammen,

Ich soll die Basis von Kern und Bild folgender linearer Abbildung bestimmen:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 4x_2 \\ x_1-x_2 \\ x_1-x_2-x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern wäre doch hier $\begin{eqnarray*} \Bigg \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Bigg \} \end{eqnarray*}$ und die Basis somit ebenfalls $\begin{eqnarray*} \Bigg \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Bigg \} \end{eqnarray*}$ oder ?

Nur wie bestimme ich jetzt die Basis von dem Bild ?

LG

Snexx_Math

28.06.2018, 19:49

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Kern stimmt, aber der Nullvektor 0 ist wegen 1*0=0 linear abhängig, kann also nicht die Basis des Nullraums sein. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Damit jeder Vektorraum eine Basis hat, erklärt man die leere Menge zur Basis des Nullraums.
Es gibt nicht "die" Basis des Bilds, du sollst "eine" Basis des Bilds bestimmen. Da der Kern Dimension 0 hat, hat das Bild Dimension 3. Eine Basis ist offenbar die Menge der Bilder der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

29.06.2018, 07:22

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke erstmal. Das mit dem Nullvektorraum hatten wir sogar Hammer

Woher weiß man denn , dass wenn der Kern Dimension 0 hat , dass das Bild Dimension 3 ist und die Basisvektoren des Bildes die abgebildeten Basisvektoren des Definitionsbereiches sind ?

LG

29.06.2018, 10:29

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Rangsatz: Ist $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, so ist $\begin{eqnarray*} dim (V)= dim (ker(f)) + dim (Bild(f)) \end{eqnarray*}$ . Hier ist also $\begin{eqnarray*} 3=0+3 \end{eqnarray*}$ .
Die Bilder der Basisvektoren stehen bekanntlich in den Spalten der Darstellungsmatrix. Wären sie linear abhängig, dann hätte die Matrix nicht den Rang 3 sondern einen kleineren Rang. Dieser Rang ist aber gleich der Dimension des Bildes, also 3. Anmerkung: Die Bilder der Basisvektoren sind immer ein Erzeugendensystem des Bildes, sie sind genau dann eine Basis des Bildes, wenn der Kern der Nullraum ist.

12.07.2018, 16:03

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Die Bilder der Basisvektoren stehen bekanntlich in den Spalten der Darstellungsmatrix.

Das verstehe ich nicht ganz. In der Darstellungsmatrix stehen doch in jeder Spalte die Koordianten / Koeffizienten , die man brauch um das Bild des Basisvektors mit Basisvektoren aus W in einer Linearkombination darzustellen verwirrt

12.07.2018, 18:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Das sind die Bilder der Basisvektoren im Bildraum. Wo sonst sollen Bilder denn sein, wenn nicht im Bildraum ? Auf welche Basisvektoren sollen sich die Koeffizienten der Bilder denn beziehen wenn nicht auf die Basisvektoren im Bildraum ?

12.07.2018, 23:10

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Darstellungsmatrix ist doch $\begin{eqnarray*} M_C^B(f) \end{eqnarray*}$ für eine Basis B aus dem Definitionsbereich und C als eine Basis des Bildbereiches oder vertue ich mich da ?

Falls ich mich vertue , wie nennt man dann die Matrix die ich meine ?

13.07.2018, 08:24

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt

Neue Frage »

Antworten »

Basis bestimmen von Kern und Bild

Verwandte Themen